Prodhimi Skalar

Në gjeometrinë Euklidiane, prodhimi skalar i koordinatave karteziane të dy vektorëve përdoret gjerësisht. Shpesh quhet produkt i brendshëm (ose rrallë produkt i projeksionit ) i hapësirës Euklidiane, edhe pse nuk është i vetmi prodhim i brendshëm që mund të përcaktohet në hapësirën Euklidiane (shih hapësirën e brendshme të prodhimit për më shumë).

Nga ana algjebrike, prodhimi me pikë është shuma e produkteve të hyrjeve përkatëse të dy vargjeve të numrave. Gjeometrikisht, është prodhim i madhësive Euklidiane të dy vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre. Këto përkufizime janë të njëvlershme kur përdoren koordinatat karteziane. Në gjeometrinë moderne, hapësirat Euklidiane shpesh përcaktohen duke përdorur hapësira vektoriale . Në këtë rast, prodhimi me pikë përdoret për përcaktimin e gjatësive (gjatësia e një vektori është rrënja katrore e prodhimit me pikë të vektorit me veten) dhe këndet (kosinusi i këndit midis dy vektorëve është herësi i prodhimit të tyre me pikë me nga prodhimin e gjatësisë së tyre).

Emri "prodhim me pikë" rrjedh nga pika e përqendruar " · " që përdoret shpesh për të përcaktuar këtë veprim; emri alternativ "prodhim skalar" thekson se rezultati është një skalar, në vend të një vektor (si me produktin vektorial në hapësirën tre-dimensionale).

Prodhimi me pikë mund të përcaktohet në mënyrë algjebrike ose gjeometrike. Përkufizimi gjeometrik bazohet në nocionet e këndit dhe largësisë (madhësia) mes vektorëve. Njëvlershmëria e këtyre dy përkufizimeve mbështetet në të paturit e një sistemi koordinativ kartezian për hapësirën Euklidiane.

Përkufizimi koordinativ

Prodhimi skalar i dy vektorëve ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$  dhe ${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$ , i specifikuar në lidhje me një bazë ortonormale, përkufizohet si:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

 

${\displaystyle \Sigma }$ 

${\displaystyle n}$ 

${\displaystyle [1,3,-5]}$ 

${\displaystyle [4,-2,-1]}$ 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

 

${\displaystyle [1,3,-5]}$ 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

 

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$

 

${\displaystyle a{^{\mathsf {T}}}}$ 

${\displaystyle \mathbf {a} }$ 

Përkufizimi gjeometrik

 

 

Në hapësirën Euklidiane, një vektor Euklidian është një objekt gjeometrik që zotëron një madhësi dhe një drejtim. Një vektor mund të paraqitet si një shigjetë. Madhësia e tij është gjatësia e tij, dhe drejtimi i tij është drejtimi në të cilin tregon shigjeta. Madhësia e një vektori ${\displaystyle \mathbf {a} }$  shënohet me ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$  . Prodhimi skalar i dy vektorëve Euklidianë ${\displaystyle \mathbf {a} }$  dhe ${\displaystyle \mathbf {b} }$  është përcaktuar nga

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

 

${\displaystyle \theta }$ 

${\displaystyle \mathbf {a} }$ 

${\displaystyle \mathbf {b} }$ 

Në veçanti, nëse vektorët ${\displaystyle \mathbf {a} }$  dhe ${\displaystyle \mathbf {b} }$  janë ortogonalë (d.m.th., këndi i tyre është ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$  ose ${\displaystyle 90^{\circ }}$  ), pastaj ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$ , që nënkupton se

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$

 

${\displaystyle \cos 0=1}$ 

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$

 

${\displaystyle \mathbf {a} }$ 

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$

 

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$

 

Prodhimi skalar plotëson vetitë e mëposhtme nëse ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , ${\displaystyle \mathbf {b} }$ , dhe ${\displaystyle \mathbf {c} }$  janë vektorë realë dhe ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle c_{1}}$  dhe ${\displaystyle c_{2}}$  janë skalarë .

Ndërruese
$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$
 
Shpërndarëse në lidhje me mbledhjen e vektorëve
$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$
 
Bilineare
$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$$
 
Shumëzimin skalar
$${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$$
 
Jo shoqëruese
sepse prodhimi me pikë ndërmjet një skalari ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$  dhe një vektori ${\displaystyle \mathbf {c} }$  nuk është i përcaktuar, që do të thotë se shprehjet e përfshira në vetinë e shoqërimit, ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$  ose ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$  janë të dyja të keqpërcaktuara. Sidoqoftë, vini re se vetia e shumëzimit skalar e përmendur më parë ndonjëherë quhet "ligji shoqërues për prodhimin skalar dhe atë me pikë" ose mund të thuhet se "produkti me pikë është shoqërues në lidhje me shumëzimin skalar" sepse ${\displaystyle c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} )}$  .
Ortogonale
Dy vektorë jo zero ${\displaystyle \mathbf {a} }$  dhe ${\displaystyle \mathbf {b} }$  janë ortogonalë atëherë dhe vetëm atëherë kur ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$  .
Asnjë anulim
Ndryshe nga shumëzimi i numrave të zakonshëm, ku nëse ${\displaystyle ab=ac}$ , pastaj ${\displaystyle b}$  gjithmonë të barabartë ${\displaystyle c}$  përveç nëse ${\displaystyle a}$  është zero, produkti me pikë nuk i bindet ligjit të anulimit :
Nëse ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$  dhe ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$ , atëherë mund të shkruajmë: ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0}$  sipas ligjit shpërndarës ; rezultati i mësipërm thotë se kjo do të thotë vetëm se ${\displaystyle \mathbf {a} }$  është pingul me ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$ , e cila ende lejon ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0} }$ , dhe për këtë arsye lejon ${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }$  .
Rregulli i prodhimit
Nëse ${\displaystyle \mathbf {a} }$  dhe ${\displaystyle \mathbf {b} }$  janë funksione të diferencueshme me vlerë vektoriale, pastaj derivati ( i shënuar me një të thjeshtë ${\displaystyle {}'}$  ) të ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$  jepet nga rregulli
$${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.}$$
 

Zbatimi në ligjin e kosinusit

 

Jepen dy vektorë ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$  dhe ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$  të ndara sipas këndit ${\displaystyle \theta }$  (shih imazhin djathtas), ato formojnë një trekëndësh me një anë të tretë ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$  . Le ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  dhe ${\displaystyle c}$  tregojnë gjatësitë e ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ , ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ , dhe ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$ , respektivisht. Produkti me pika i kësaj me vetveten është:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

 

Në fizikë, madhësia vektoriale është një skalar në kuptimin fizik (dmth., një madhësi fizike e pavarur nga sistemi i koordinatave), e shprehur si prodhim i një vlere numerike dhe një njësie fizike, jo thjesht një numër. Prodhimi me pikë është gjithashtu një skalar në këtë kuptim, i dhënë nga formula, i pavarur nga sistemi i koordinatave. Për shembull:

• Puna mekanike është prodhimi me pikë i vektorëve të forcës dhe zhvendosjes ,
• Fuqia është prodhimi me pikë i forcës dhe shpejtësisë .