Скалярний Добуток

Скалярний добуток геометричних векторів ${\displaystyle {\vec {x}}}$ та ${\displaystyle {\vec {y}}}$ обчислюється за формулою:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$

де ${\displaystyle |{\vec {x}}|}$ та ${\displaystyle |{\vec {y}}|}$ є довжинами векторів, а ${\displaystyle \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$ дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\vec {x}}{\vec {y}}}$.

Два означення добутку векторів:

• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини ${\displaystyle {\vec {x}}}$ на довжину проєкції ${\displaystyle {\vec {y}}}$ на ${\displaystyle {\vec {x}}}$).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ позначають як ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$. Можлива і скорочена форма запису: ${\displaystyle xy}$. Також можливе позначення ${\displaystyle x^{T}y}$, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$     і   ${\displaystyle {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}$ 

в ортонормованому базисі ${\displaystyle n}$ -вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}}$ .
В загальному випадку:
${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}g_{ij}y_{j}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}}$ , де ${\displaystyle g}$  — елемент Матриці Грама

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36}$ ,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

${\displaystyle ||{\vec {x}}||={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}}$ .

Якщо простір евклідів, то:

${\displaystyle ||{\vec {x}}||={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}}$ .

Обчислення кута

В евклідовому просторі виконується така рівність:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}||{\vec {y}}|\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$ .

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

${\displaystyle \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=\arccos {\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\left|{\vec {x}}\right|\,\left|{\vec {y}}\right|}}}$ .

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів

Для ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {C} ^{n}}$  визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}={x_{1}}{\overline {y_{1}}}+{x_{2}}{\overline {y_{2}}}+\dotsb +{x_{n}}{\overline {y_{n}}},}$ 

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}={\overline {x_{1}}}{y_{1}}+{\overline {x_{2}}}{y_{2}}+\dotsb +{\overline {x_{n}}}{y_{n}}}$ .

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\vec {y}}\cdot {\vec {x}}}$ , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\overline {{\vec {y}}\cdot {\vec {x}}}}}$ .
• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
• Скалярний добуток дистрибутивний стосовно додавання та віднімання.
• В евклідовому просторі спряженим стосовно лінійного оператора ${\displaystyle A}$  називається оператор ${\displaystyle A^{*}}$ , для якого виконується рівність: ${\displaystyle \langle A\cdot x,y\rangle =\langle x,A^{*}\cdot y\rangle }$  для довільних ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ .

Якщо ${\displaystyle L}$  — лінійний простір над полем ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ , а ${\displaystyle {\overline {L}}}$  — комплексно спряжений до ${\displaystyle L}$  то білінійне відображення ${\displaystyle L\times L\to {\mathcal {K}}}$ , або, при ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\mathbb {C} }$  відображення ${\displaystyle L\times {\overline {L}}\to {\mathcal {K}}}$  називається скалярним добутком.

• Скалярний добуток в дійсному векторному просторі ${\displaystyle V}$ , це симетричне додатньовизначене білінійне відображення ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }$ , тобто, для ${\displaystyle x,y,z\in V}$  та ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$  виконуються такі умови:
  1. білінійність:
     • ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$ 
     • ${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$ 
     • ${\displaystyle \langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle }$ 
  2. симетричність: ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$ 
  3. додатньовизначеність: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0,}$  та ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$  якщо ${\displaystyle x=0}$ 
• Скалярний добуток в комплексному векторному просторі ${\displaystyle V}$ , це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$ , тобто, для ${\displaystyle x,y,z\in V}$  і ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$  виконуються такі умови:
  1. півторалінійність:
     • ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$ 
     • ${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$ 
     • ${\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle x,{\bar {\lambda }}y\rangle }$ 
  2. ермітовість: ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$ 
  3. додатньовизначеність: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$  і ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ , якщо ${\displaystyle x=0}$ . (те, що ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$  дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{T}y=y^{T}x}$ ,

де знаком ${\displaystyle {}^{T}}$  позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{*}y}$ ,

де знаком ${\displaystyle {}^{*}}$  позначається ермітово-спряжена матриця.

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця ${\displaystyle A}$  визначає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{T}Ay}$ ;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця ${\displaystyle A}$  визначає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{*}Ay}$ .

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)

• Добуток скалярний // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.