Produto Escalar

O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece, por outro lado, un novo vector.

Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos.

 

Dados dous vectores ${\displaystyle {\vec {A}}}$  e ${\displaystyle {\vec {B}}}$ . o produto escalar pode ser calculado como:

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|A||B|\ cos\theta }$ 

Onde ${\displaystyle \theta }$  é o ángulo formado polos vectores ${\displaystyle {\vec {A}}}$  e ${\displaystyle {\vec {B}}}$ , e ${\displaystyle |A|}$  e ${\displaystyle |B|}$  son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto ${\displaystyle |A|\ cos\theta }$  representa a proxección do vector ${\displaystyle {\vec {A}}}$  na dirección do vector ${\displaystyle {\vec {B}}}$  . Se ${\displaystyle {\vec {A}}}$  fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza ${\displaystyle {\vec {A}}}$  se estaría a aplicar na dirección de ${\displaystyle {\vec {B}}}$ .

Se o ángulo entre os vectores fose 90º (${\displaystyle {\vec {A}}}$  e ${\displaystyle {\vec {B}}}$  perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A fórmula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:

${\displaystyle {\vec {A}}=(A_{x},A_{y},A_{z})}$ 
${\displaystyle {\vec {B}}=(B_{x},B_{y},B_{z})}$ 

O produto escalar pode escribirse como:

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}}$ 

Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:

${\displaystyle |A|={\sqrt {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}}}={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}$ 

A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo:

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {A}}=|A||A|\ cos0^{o}=|A|^{2}}$ 

Definición xeral

O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cuadrática definida positiva.

Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\longrightarrow \mathbb {K} }$  onde V é un espazo vectorial e ${\displaystyle \mathbb {K} }$  é o corpo sobre o que está definido V. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$  debe satisfacer as seguintes condicións:

1. Linearidade pola esquerda: ${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle }$ , e linearidade conxugada pola dereita: ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,e\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$ 
2. Hermiticidade: ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$ ,
3. Definida positiva: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0\,}$ , y ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\,}$  se e só se x = 0,

onde ${\displaystyle x,y,z\in V}$  son vectores de V, ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$  representan escalares do corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$  e ${\displaystyle {\overline {c}}}$  é o conxugado do complexo c.

Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v.g., ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.

Tamén adoita representarse por ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$  ou por ${\displaystyle \bullet }$ .

Un espazo vectorial sobre o corpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$  dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de Hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclídeo.

Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira:

${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ .

Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclídeo real

 

O produto escalar de dous vectores nun espazo euclídeo defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo ${\displaystyle \theta }$  que forman.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta }$ 

Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$ 

Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.

Proxección dun vector sobre outro

Posto que |A| cos θ representa o módulo da proxección do vector A sobre a dirección do vector B, isto é |A| cos θ = proy A_B, será

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|B|\left({\text{proy}}A_{B}\right)}$ 

de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

Ángulos entre dous vectores

A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores:

${\displaystyle \cos \theta ={\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \over |A|\,|B|}\,}$ 

Vectores ortogonais

Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {A} \bot \mathbf {B} }$ 

xa que o ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$ .

Vectores paralelos ou nunha mesma dirección

Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).

Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar.

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A\,B\,\cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta |=1\leftrightarrow A||B\Rightarrow |\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |=|A|\,|B|}$ 

Observación

Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$  dotado do produto escalar:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}\,}$ .

1. Conmutativa:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$ 

2. Distributiva respecto á suma vectorial:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} }$ 

3. Asociativa respecto ao produto por un escalar m:

${\displaystyle m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )}$ 

4. Obsérvese que en xeral

${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} \neq \mathbf {A} (\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )\,}$ 

5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º = 0), e viceversa

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\,}$ 

Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.

Se os vectores A e B se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  formada polos vectores unitarios {i , j , k} temos:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,}$ 

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{x}\mathbf {i} +B_{y}\mathbf {j} +B_{z}\mathbf {k} \,}$ 

O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\,}$ 

Exemplo

Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores u e mais v,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.

Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo.

${\displaystyle |A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \quad \rightarrow \quad |A|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}}$ 

Efectuado o produto escalar, temos:

${\displaystyle |A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =(A_{1},A_{2},...,A_{n})^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}=\sum A_{i}^{2}}$ 

de modo que

${\displaystyle |A|={\sqrt {\sum A_{i}^{2}}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}}}}$ 

Por compoñentes, tomando a base canónica en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  formada polos vectores unitarios {i, j, k}

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,}$ 

${\displaystyle |A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\,}$ 

de modo que

${\displaystyle |A|={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}\,}$ 

• No espazo vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, produto punto) por:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}=\sum a_{i}\cdot b_{i}}$ 

• No espazo vectorial ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  adóitase definir o produto interior por:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}\cdot {\overline {b_{n}}}=\sum a_{i}\cdot {\overline {b_{i}}}}$ 

Sendo ${\displaystyle {\overline {b_{n}}}}$  o número complexo conxugado de ${\displaystyle \mathbf {b_{n}} }$ 

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos reais

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{T}\cdot B)}$ 

onde tr(A) é a traza da matriz B e ${\displaystyle A^{T}}$  é a matriz trasposta de A.

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos complexos

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{*}\cdot B)}$ 

onde tr(A) é a traza da matriz B e ${\displaystyle A^{*}}$  é a matriz trasposta conxugada de A.

• No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acoutado por a e b:

${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x}$ 

• No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a n:

Dado ${\displaystyle \textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n+1}]\subseteq \mathbb {R} }$  tal que ${\displaystyle \textstyle x_{1}$  :

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n}+1)q(x_{n}+1)=\sum p(x_{i})\cdot q(x_{i})}$ 

Formas cuadráticas

Dada unha forma bilinear simétrica ${\displaystyle \scriptstyle B(\cdot ,\cdot )}$  definida sobre un espazo vectorial ${\displaystyle \scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}}$  pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula:

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )_{B}={\begin{bmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{11}&\dots &B_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\B_{n1}&\dots &B_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\dots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}B_{ij}u_{i}v_{j}}$ 

Onde:

${\displaystyle B_{ij}:=B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}$ 
${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$  é unha base do espazo vectorial ${\displaystyle \scriptstyle V}$ 

Pode comprobarse que a operación anterior ${\displaystyle \scriptstyle (\cdot ,\cdot )_{B}:V\times V\to \mathbb {R} }$  satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.

Tensores métricos

Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico ${\displaystyle \scriptstyle g:{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} }$ , tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear ${\displaystyle \scriptstyle g_{x}(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )}$ .

Así, dados dous vectores campos vectoriais ${\displaystyle \mathbf {u} }$  e ${\displaystyle \mathbf {v} }$  do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =g_{x}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}(x)u_{i}u_{j}}$ 

A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {T} }$  do seguinte xeito:

${\displaystyle L_{C}=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g(\mathbf {x} ,\mathbf {T} ,\mathbf {T} )}}\ ds=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g_{ij}{\frac {dx^{i}}{ds}}{\frac {dx^{i}}{ds}}}}\ ds}$ 

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Monytex, ed. Lecciones de Física (4 volúmenes). ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). John Wiley & Sons, ed. Physics. New York. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Brooks/Cole, ed. Physics for Scientists and Engineers (6ª ed.). ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Barcelona: Ed. Reverté, ed. Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). ISBN 84-291-4382-3. 
• Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). MAD, ed. Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III). ISBN 84-665-7931-1. 
• Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Pearson educación, S.A., ed. Cálculo vectorial (5ª ed.). ISBN 84-7829-069-9. 
• Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich; Traducido por Vázquez Suárez,Juan Luis;Rodríguez Artalejo, Mario (Alianza universidad) (1984). Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH&Co. KG.München (Deutschland), ed. Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos). ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9. 

Ligazóns externas

• Produto escalar de vectores con Excel (en castelán)