Скаларно Произведение

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно скаларното произведение на два вектора може да приема и положителни, и отрицателни стойности.

Скаларното произведение на нулевия вектор с всеки друг вектор е равно на 0.

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}^{T}{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}^{T}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\Vert {\vec {a}}\Vert \Vert {\vec {b}}\Vert \cos(\theta )}$

• ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$ 
• ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}}$ 
• ${\displaystyle (k{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=k({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})}$ 

Ако ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle CD}$  са две прави и φ е ъгълът между тях, то cos(φ) е равен на модула от скаларното произведение на векторите ${\displaystyle AB}$ ^→ и ${\displaystyle CD}$ ^→, разделено на произведението на дължините на отсечките ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle CD}$ .

${\displaystyle \cos(\theta )={{\vec {a}}\cdot {\vec {b}} \over \Vert {\vec {a}}\Vert \Vert {\vec {b}}\Vert }}$ 

Важно свойство на скаларното произведение на два вектора е, че ако правите ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle CD}$  са перпендикулярни, скаларното произведение на ${\displaystyle AB}$ ^→ и ${\displaystyle CD}$ ^→ е равно на 0, защото cos(90°)=0.

Голямо практическо приложение скаларното произведение на векторите намира при търсенето на дължина на отсечка. Тъй като ъгълът между два равни вектора е 0°, косинусът на този ъгъл винаги е 1. Следователно коренът от ${\displaystyle AB}$ ^→ умножено по себе си е равен на дължината на отсечката ${\displaystyle AB}$ .