Скаларен производ — бинарна операција која зема два вектора како аргументи, а резултатот е скаларен.
Ова е посебен случај на внатрешно множење на простори. Ако овие два вектора се исто така од векторски простор, записот за оваа операција е како што следи:
Скаларен производ се вика секое пресликување кое ги има следните својства:
Каде, и векторите о, а α се произволен реален број.
Скаларен производ на векторите јас се дефинира на следниов начин:
Притоа и се интензитетите на овие вектори, определени со следните координати:
јас
Пример за скаларно множење на вектори (1, 3, −5) и (4, −2, −1) во тридимензионален простор:
Формулата : може да се докаже со набљудување на два вектора со заеднички почеток и нивната разлика:
Ако е аголот помеѓу два вектора чиј скаларен производ треба да се најде, користејќи ја косинусната теорема може да се напише:
Бидејќи е еднаков на , следи:
Од каде се наоѓа:
Оттука се добива конечната формула:
Ортогонални вектори
Со замена на вредностите на аглите во претходната формула во случај векторите и да се заемно нормално добиваме:
.
Ова својство често е корисно за докажување дека векторите се меѓусебно нормални, бидејќи е доволно и неопходно нивниот скаларен производ да биде еднаков на нула.
Својства
Скаларниот производ на вектори ги има следните својства:
Со користење на скаларен производ на вектори, може да се изведе формула за интензитет на векторот.
Бидејќи:
За посебен случај кога еднаквоста се претвора во:
Врз основа на тоа се заклучува:
Овој образец ја претставува формулата за пресметување на интензитетот на векторот.
Примена во физиката
Бидејќи самите вектори се применливи во физиката, скаларниот производ на вектори наоѓа примена во неа. Така, на пример, работата се дефинира како скаларен производ на векторот на сила и векторот на поместување:
Геометриска интерпретација
Бидејќи е познато дека скаларниот производ на два вектора и производот на нивните интензитети со агол меѓу нив, аголот може да се пресмета со инверзна операција.
Троен производ
Оваа формула наоѓа примена во поедноставувањето на векторските пресметки во физиката
Проекција на вектор врз вектор
Со помош на скаларниот производ може да се пресмета проекција на вектор врз вектор, т.е.
This article uses material from the Wikipedia Македонски article Скаларен производ, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Содржината е достапна под CC BY-SA 4.0 освен ако не е поинаку наведено. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Македонски (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.