ጥላ ብዜት

ለምሳሌ ሁለት የቁጥር ድርድሮች a = [a₁, a₂, ... , a_n] እና b = [b₁, b₂, ... , b_n] ቢሴጡን፣ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይገኛል፡

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

Σ እዚህ ላይ የመደመሪያ ምልክት ሲሆን n ደግሞ የጨረሩ(ቬክተሩ) ቅጥ ነው።

ሁለት ባለ ሁለት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች [a,b] እና [c,d] ቢሰጡ፣ የዶት ብዜታቸው ይሄ ነው፡ ac + bd. ሁለት ባለ ሦሥት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች [a,b,c] እና [d,e,f] ቢሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው ad + be + cf.

ይህን በቁጥር ለማየት፣ ለምሳሌ የሚከተሉት ባለ ሦሥት ቅጥ የቁጥር ድርድሮች [1, 3, −5] እና [4, −2, −1] ይሰጡ፡ የዶት ብዜታቸው እንዲህ ይሰላል

${\displaystyle [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]=1\times 4+3\times (-2)+(-5)\times (-1)=4-6+5=3.}$

 

• ቬክተር a ቢሰጠን፣ የራሱ ጥላ ብዜት (ዶት ብዜት) a · a የቬክተር a ርዝመት ስኩየር ነው

${\displaystyle {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}=|\mathbf {a} |^{2}}$ 

||a|| (በሌላ አጻጻፍ |a|) የ a ርዝመት ወይም መጠን ነው።

• ቬክተር b ቢሰጥና ከቬክተር a ጥላ ጋር ቢባዛ፣ ከላይ እንዳየነው የቬክተሩን ውስጣዊ ድርድር ቁጥሮች በማብዛትና በመደመር ጥላ ብዜቱን ማግኘት ይቻላል። ሆኖም ከዚህ ዘዴ ጋር እኩል ተነጻጻሪ የሆነ ሌላ መንገድ አለ እርሱም፡

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta \,}$ 

እዚህ ላይ ||a|| እና ||b|| የሚወክሉት የa ና b ን ርዝመት ሲሆን θ ደግሞ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን ማዕዘን መጠን ነው።

• ከላይ የተጠቀሰውን ቀመር በመጠቀም ከቬክተሮቹ ርዝመትና ጥላ ብዜት ተነስተን በመካከላቸው ያለውን ማዕዘን መጠን ማወቅ ይቻላል

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right)}$ 

ለምሳሌ ሁለት ቬክተሮች a = <1,2> እና b = <3,5> ቢሰጡን፣ በሁለቱ ቬክተሮች መካከል ያለውን ማዕዘን ለማወቅ ቢፈለግ እንዲህ ይሰላል

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right)=\arccos({\frac {<1,2>\cdot \ <3,5>}{{\sqrt {(<1,2>.<1,2>)}}{\sqrt {(<3,5>.<3,5>)}}}})}$ 

የዶት ብዜት ተገልባጭ ነው:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$ 

የዶት ብዜት ታዳይ ነው:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$ 

የዶት ብዜት ባይሊኒያር ነው:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$ 

የዶት ብዜት በስኬላር ሲባዛ የሚከተለውን ጸባይ ያሳያል:

${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=(c_{1}c_{2})(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$ 

ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች a እና b እርስ በርስ ቀጤ ነክ የሚሆኑት የዶት ብዜታቸው a • b = 0 ከሆነና ከሆነ ብቻ ነው።

• ስራ

በተፈጥሮ ህግጋት ጥናት የጉልበትና የአቀማመጥ ቬክተር ዶት ብዜት ውጤት ነው። 

• የማግኔት ፍለክስ የማግኔት መስክና የስፋት ቬክተሮች ዶት ብዜት ነው።