Gjeometria Euklidiane

Metoda e Euklidit konsiston në marrjen e një grupi të vogël të tërheqës intuitive aksiomat, dhe duke deduktuar shumë pohime tjera (Teorema) nga këto. Megjithëse shumë nga rezultatet e Euklidit ishin deklaruar nga matematikanët e mëparshëm,

Gjeometria Euklidiane quhet e tillë sepse Euklidi ishte i pari që tregoi se si këto propozime mund të përshtateshin në një sistem gjithëpërfshirës deduktiv dhe logjik . Vepra me titull Elementet nis me gjeometrinë e rrafshit, e cila ende mësohet në shkollën e mesme (arsimi i mesëm) si sistemi i parë aksiomatik dhe shembujt e parë të provave matematikore . Vazhdon te gjeometria solide e tre dimensioneve . Pjesa më e madhe e Elementeve japin rezultate të asaj që tani quhet algjebër dhe teoria e numrave, të shpjeguara në gjuhën gjeometrike. Për më shumë se dy mijë vjet, mbiemri "Euklidian" ishte i panevojshëm, sepse asnjë lloj tjetër gjeometrie nuk ishte konceptuar. Aksiomat e Euklidit dukeshin aq intuitivisht të qarta (me përjashtim të mundshëm të postulatit paralel) saqë çdo teoremë e provuar prej tyre konsiderohej e vërtetë në një kuptim absolut, shpesh metafizik. Sot, megjithatë, njihen shumë gjeometri të tjera joEuklidiane të qëndrueshme, të parat që janë zbuluar në fillim të shekullit XIX. Një implikim i teorisë së relativitetit të përgjithshëm të Albert Ajnshtajnit është se hapësira fizike në vetvete nuk është Euklidiane dhe hapësira Euklidiane është një përafrim i mirë për të vetëm në distanca të shkurtra (në lidhje me fuqinë e fushës gravitacionale ).

Gjeometria Euklidiane është një shembull i gjeometrisë sintetike, në atë që ajo vazhdon logjikisht nga aksiomat që përshkruajnë vetitë themelore të objekteve gjeometrike si pikat dhe vijat, te propozimet për ato objekte, të gjitha pa përdorimin e koordinatave për të specifikuar ato objekte. Kjo është në kontrast me gjeometrinë analitike, e cila përdor koordinatat për të përkthyer propozimet gjeometrike në formula algjebrike.

Vepra e Euklidit me titull Elementet paraqet një sistemim të njohurive të mëparshme të gjeometrisë. Përmirësimi i tij në krahasim me trajtimet e mëparshme u njoh me shpejtësi, me rezultatin që kishte pak interes për ruajtjen e atyre të mëparshme, dhe tani ato janë pothuajse të gjitha të humbura.

Vepra Elementet është e ndarë në 13 libra:

Librat I–IV dhe VI trajtojnë gjeometrinë e rrafshët. Shumë rezultate rreth figurave të rrafshët janë vërtetuar, për shembull, "Në çdo trekëndësh, dy kënde të marra së bashku në çfarëdo mënyre janë më pak se dy kënde të drejta". (Libri I prop. 17) dhe Teorema e Pitagorës "Në trekëndëshat kënddrejtë, katrori në anën që nënshtron këndin e duhur është i barabartë me katrorët në brinjët që përmbajnë këndin e duhur." (Libri I, prop. 47)

Librat V dhe VII–X trajtojnë teorinë e numrave, me numra të trajtuar gjeometrikisht si gjatësi të segmenteve të vijës ose zonave të rajoneve. Prezantohen nocione të tilla si numrat e thjeshtë dhe numrat racionalë dhe irracionalë . Është vërtetuar se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Librat XI–XIII kanë të bëjnë me gjeometrinë e ngurtë. Një rezultat tipik është raporti 1:3 midis vëllimit të një koni dhe një cilindri me të njëjtën lartësi dhe bazë. Trupat platonike janë të ndërtuara.

• Euklidi
• Gjeometria
• Rrethi i Eulerit
• Gjeometria analitike
• Teorema e Pitagorës
• Gjeometria elementare
• Sistemi i koordinatave karteziane

• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (bot. 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]). New York: Dover Publications. fq. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (bot. 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]). New York: Dover Publications. In 3 vols.: vol. 1  , vol. 2  , vol. 3  . Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation (book). W.H. Freeman.
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press.
• Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.