Ekuacionet Diferenciale Të Pjesshme

Funksioni shpesh mendohet si një "e panjohur" për t'u zgjidhur. Megjithatë, zakonisht është e pamundur të shkruhen formula të qarta për zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale të pjesshme. Ekziston përkatësisht një sasi e madhe kërkimesh moderne matematikore dhe shkencore mbi metodat për të përafruar numerikisht zgjidhjet e disa ekuacioneve diferenciale të pjesshme duke përdorur kompjuterë. Ekuacionet diferenciale të pjesshme zënë gjithashtu një sektor të madh të kërkimit të pastër matematikor, në të cilin pyetjet e zakonshme janë, në përgjithësi, në identifikimin e veçorive të përgjithshme cilësore të zgjidhjeve të ekuacioneve të ndryshme diferenciale të pjesshme, si ekzistenca, uniteti, rregullsia dhe qëndrueshmëria.^{[ citim i nevojshëm ]} Ndër shumë pyetjet e hapura janë ekzistenca dhe lëmimi i zgjidhjeve për ekuacionet Navier-Stokes, të quajtur si një nga Problemet e Çmimit të Mijëvjeçarit në 2000.

Ekuacionet diferenciale të pjesshme janë të kudondodhura në fusha shkencore të orientuara nga matematika, si fizika dhe inxhinieria . Për shembull, ato janë themelore në kuptimin shkencor modern të zërit, nxehtësisë, difuzionit, elektrostatikës, elektrodinamikës, termodinamikës, dinamikës së lëngjeve, elasticitetit, relativitetit të përgjithshëm dhe mekanikës kuantike ( ekuacioni i Shrodingerit, ekuacioni i Paulit etj.). Ato gjithashtu lindin nga shumë konsiderata thjesht matematikore, të tilla si gjeometria diferenciale dhe llogaritja e variacioneve ; ndër aplikime të tjera të dukshme, ato janë mjeti themelor në vërtetimin e konjekturës së Poincare-së nga topologjia gjeometrike .

Ekuacionet diferenciale të zakonshme formojnë një nënklasë ekuacionesh diferenciale të pjesshme, që korrespondojnë me funksionet e një ndryshoreje të vetme. Ekuacionet diferenciale të pjesshme stokastike dhe ekuacionet jovendore janë, që nga viti 2020, zgjerime veçanërisht të studiuara gjerësisht të nocionit "EDP". Temat më klasike, mbi të cilat ka ende shumë kërkime aktive, përfshijnë ekuacionet diferenciale të pjesshme eliptike dhe parabolike, mekanikën e lëngjeve, ekuacionet e Boltzmann-it dhe ekuacionet diferenciale të pjesshme dispersive . ^{[citim i nevojshëm ]}

Një funksion ${\displaystyle u(x,y,z)}$  i tre ndryshoreve është " harmonik " ose "një zgjidhje e ekuacionit të Laplasit " nëse plotëson kushtin

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

 

$${\displaystyle u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}}$$

 

$${\displaystyle u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$

 

$${\displaystyle u(x,y,z)=\sin(xy)+z}$$