Në matematikë, një ekuacion është një formulë që shpreh barazinë e dy shprehjeve, duke i lidhur ato me shenjën e barazimit = .
Fjala ekuacion dhe gjegjëset e saj në gjuhë të tjera mund të kenë kuptime paksa të ndryshme; për shembull, në frëngjisht një ekuacion përkufizohet se përmban një ose më shumë variabla, ndërsa në anglisht, çdo formulë e mirëformuar që përbëhet nga dy shprehje të lidhura me një shenjë e barazimit është një ekuacion.
Të zgjidhësh një ekuacion që përmban ndryshore do të thotë "të përcaktosh se cilat vlera të ndryshoreve e bëjnë barazimin të vërtetë". Ndryshoret për të cilat duhet të zgjidhet ekuacioni quhen gjithashtu të panjohura, dhe vlerat e të panjohurave që plotësojnë barazinë quhen zgjidhje të ekuacionit. Ekzistojnë dy lloje ekuacionesh: identitete dhe ekuacione të kushtëzuara. Një identitet është i vërtetë për të gjitha vlerat e ndryshoreve. Një ekuacion i kushtëzuar është i vërtetë vetëm për vlera të veçanta të ndryshoreve.
Shprehjet në të dy anët e shenjës së barabartë emërtohen përkatësisht "ana e majtë" dhe "ana e djathtë" e ekuacionit. Shumë shpesh ana e djathtë e një ekuacioni barazohet me 0 ,kjo mund të realizohet duke zbritur anën e djathtë nga të dyja anët.
Lloji më i zakonshëm i ekuacionit është një ekuacion polinomial (zakonisht i quajtur edhe ekuacion algjebrik ) në të cilin të dy anët janë polinome . Për shembull, ekuacioni:
Një ekuacion është i përafërt me një peshore në të cilën vendosen peshat. Kur pesha të barabarta (psh kokrra) vendosen në të dy pjatat e saj, kjo bën që peshorja të jetë në baraspeshë dhe thuhet se janë të barabarta. Nëse një sasi kokrrash hiqet nga një anë, duhet të hiqet një sasi e barabartë kokrrash nga tigani tjetër për të mbajtur peshoren në ekuilibër. Në përgjithësi, një ekuacion mbetet në baraspeshë nëse i njëjti veprim kryhet në të dy anët e tij.
Simboli " = ", i cili shfaqet në çdo ekuacion, u shpik në 1557 nga Robert Recorde, i cili konsideronte se asgjë nuk mund të ishte më e barabartë se vijat paralele me të njëjtën gjatësi.
Një identitet është një ekuacion që është i vërtetë për të gjitha vlerat e mundshme të ndryshoreve që ai përmban. Shumë identitete janë të njohura në algjebër dhe analizë matematike. Në procesin e zgjidhjes së një ekuacioni, një identitet shpesh përdoret për të thjeshtuar një ekuacion, duke e bërë të zgjidhshëm më lehtë.
Në algjebër, një shembull i një identiteti është ndryshesa e katrorëve :
e cila është e vërtetë për të gjitha x-et dhe y-et .
Trigonometria është një fushë ku ekzistojnë shumë identitete; këto janë të dobishme në shndërrimin ose zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike . Dy nga shumë që përfshijnë funksionet sinus dhe kosinus janë:
dhe
të cilat janë të dyja të vërteta për të gjitha vlerat e θ .
Dy ekuacione ose dy sisteme ekuacionesh janë të njëvlershme, nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh. Veprimet e mëposhtme shndërrojnë një ekuacion ose një sistem ekuacionesh në një të njëvlershëm - me kusht që veprimet të jenë kuptimplote për shprehjet në të cilat zbatohen:
Nëse një funksion zbatohet në të dy anët e një ekuacioni, ekuacioni që rezulton ka zgjidhjet e ekuacionit fillestar midis zgjidhjeve të tij, por mund të ketë zgjidhje të mëtejshme të quajtura zgjidhje të huaja . Për shembull, ekuacioni e ka zgjidhjen Ngritja e të dy anëve në fuqi të dytë e ndryshon ekuacionin në , i cili jo vetëm ka zgjidhjen e mëparshme, por mbart edhe zgjidhjen e jashtme, Për më tepër, nëse funksioni nuk përcaktohet në disa vlera (si p.sh. , i cili nuk është i përcaktuar për x = 0), zgjidhjet ekzistuese në ato vlera mund të humbasin. Kështu, duhet treguar kujdes kur zbatohet një shndërrim i tillë në një ekuacion.
Një ekuacion diferencial është një ekuacion matematik që lidh një funksion me derivatet e tij. Në aplikime, funksionet zakonisht përfaqësojnë madhësi fizike, derivatet përfaqësojnë shkallët e tyre të ndryshimit dhe ekuacioni përcakton një marrëdhënie midis të dyjave. Për shkak se marrëdhëniet e tilla janë jashtëzakonisht të zakonshme, ekuacionet diferenciale luajnë një rol të rëndësishëm në shumë disiplina duke përfshirë fizikën, inxhinierinë, ekonominë dhe biologjinë .
Nëse nuk gjendet një formulë për zgjidhjen, zgjidhja mund të përafrohet numerikisht duke përdorur kompjutera. Teoria e sistemeve dinamike e vë theksin në analizën cilësore të sistemeve të përshkruara me ekuacione diferenciale, ndërsa shumë metoda numerike janë zhvilluar për të përcaktuar zgjidhjet me një shkallë të caktuar saktësie.
Një ekuacion i zakonshëm diferencial ose ODE është një ekuacion që përmban një funksion të një ndryshoreje të pavarur dhe derivateve të saj. Termi "i zakonshëm " përdoret në kontrast me termin ekuacion diferencial i pjesshëm, i cili mund të jetë në lidhje me më shumë se një ndryshore të pavarur.
Një ekuacion diferencial i pjesshëm ( PDE ) është një ekuacion diferencial që përmban funksione të panjohura shumëndryshore dhe derivatet e tyre të pjesshme . (Kjo është në kontrast me ekuacionet diferenciale të zakonshme, të cilat kanë të bëjnë me funksionet e një ndryshoreje të vetme dhe derivatet e tyre. ) PDE-të përdoren për të formuluar probleme që përfshijnë funksione të disa variablave dhe ose zgjidhen me dorë ose përdoren për të krijuar një model kompjuterik përkatës.
PDE-të mund të përdoren për të përshkruar një shumëllojshmëri të gjerë dukurish si zëri, nxehtësia, elektrostatika, elektrodinamika, rrjedha e lëngjeve, elasticiteti ose mekanika kuantike . Këto dukuri fizike në dukje të dallueshme mund të formalizohen në mënyrë të ngjashme përsa i përket PDE-ve. Ashtu si ekuacionet diferenciale të zakonshme shpesh modelojnë sisteme dinamike njëdimensionale, ekuacionet diferenciale të pjesshme shpesh modelojnë sisteme shumëdimensionale . PDE-të e gjejnë përgjithësimin e tyre në ekuacionet diferenciale të pjesshme stokastike .
This article uses material from the Wikipedia Shqip article Ekuacioni, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Përmbajtja është në disponim nëpërmjet licencës CC BY-SA 4.0 nëse nuk shënohet ndryshe. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Shqip (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.