Bashkësitë

Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :

• Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})}$
• Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: ${\displaystyle A=\{x|F(x)\}}$

Bashkësia e numrave natyral: ${\displaystyle \mathbb {N} =\{\,1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \,\}}$ 

Bashkësia e numrave të plotë: ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\,\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \,\}}$ 

Bashkësia e numrave racional: ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}|m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}$ 

Bashkësia e numrave real: ${\displaystyle \mathbb {R} =\{\ x|-\infty$ 

Bashkësia e numrave kompleks: ${\displaystyle \mathbb {C} =\{\ x+iy|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,i={\sqrt {-1}}\,\}}$ 

Bashkësia e numrave çift: ${\displaystyle \mathbb {N_{+}} =\{\ 2n|n\in \mathbb {N} \land n\vdots 2\,\}}$  ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: ${\displaystyle \mathbb {N_{-}} =\{\ n|x\in \mathbb {N} \land n\not \vdots 2\,\}}$ ={1,3,5,7,9,...}

• Prerja e bashkësive

Prerja e bashkësive ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$  quhet bashkësia e cila i përmban elementet e ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$  ${\displaystyle }$ figura.

• Unioni (apo bashkimi) i bashkësive

Unioni i bashkësive ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$  quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$  ${\displaystyle }$ figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :

1. Ligji i indempotencës

${\displaystyle A\cup A=Assdfrdghhgh}$ 

1. Ligji i kumutativ

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$ 

1. Ligji asociativ

${\displaystyle AU(BUC)=(AUB)UC}$ 

1. Ligji distribtiv

1. Ligji distribtiv

• Diferenca e bashkësive

Diferenca e bashkësive ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$  quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë ${\displaystyle A}$  që nuk i takojnë bashkësisë ${\displaystyle B}$  ${\displaystyle }$ figura.

• Diferenca simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$  quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$  ${\displaystyle }$ figura.

• Relacionet binare

Nëse me ${\displaystyle A}$  shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me ${\displaystyle R}$  relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të ${\displaystyle A}$ -së, atëherë për ${\displaystyle R}$  themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian : ${\displaystyle AxB}$ 
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët ${\displaystyle A}$  vlenë relacioni ${\displaystyle \rho }$  i cili ka vetitë ${\displaystyle aRb}$  dhe ${\displaystyle bRa}$  atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë. ${\displaystyle }$ Në të kundërtën nëse vlen: ${\displaystyle }$ themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët ${\displaystyle A}$  nga relacioni binar ${\displaystyle R}$  rrjedhë ${\displaystyle bRa}$  atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë ${\displaystyle }$ Në të kundërtën nëse vlen: ${\displaystyle }$ themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët ${\displaystyle A}$  nga relacionet binare ${\displaystyle a\rho b}$  dhe ${\displaystyle b\rho a}$  rrjedhë ${\displaystyle aRc}$  atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv ${\displaystyle }$ Në të kundërtën nëse vlen: ${\displaystyle }$ themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.

• Relacioni i ekuivalencës

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë ${\displaystyle R}$  i cili në bashkësinë ${\displaystyle A}$  është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " ${\displaystyle \sim }$  " .
Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

• Relacioni i renditjes

Relacioni i renditjes është relacioni binarë ${\displaystyle \rho }$  i cili në bashkësinë ${\displaystyle A}$  është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë ${\displaystyle \rho }$  në bashkësinë ${\displaystyle A}$  është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

• Relacionet ndërmjet dy bashkësive

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian ${\displaystyle AxB}$  i bashkësive jo të zbrazëta ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$ . Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen : ${\displaystyle \rho =\left\{(a,b)|a\in A\land b\in B\land a\rho b\right\}}$ 

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë ${\displaystyle A}$  në ${\displaystyle B}$  quhet relacioni ${\displaystyle \rho }$  ndërmjet dy bashkësive ${\displaystyle A}$  dhe ${\displaystyle B}$ , i cili ka këtë veti :

${\displaystyle (\forall x\in A)(\exists !y\in B)(x,y)\in \rho }$ 

Elementet e bashkësisë ${\displaystyle A}$  që pasqyrohen në bashkësinë ${\displaystyle B}$  janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë ${\displaystyle B}$  që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me ${\displaystyle \rho }$  por me ${\displaystyle f,g,h,\psi }$  etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

• Shënimi simbolik i pasqyrimit

${\displaystyle f:A\to B}$  ose ${\displaystyle f:x\to y=f(x),\forall x\in A}$ 

• Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

${\displaystyle f(x)=2x,x\in \mathbb {N} }$ 

• Funksioni invers

Nëse për pasqyrimin ${\displaystyle f:A\to B}$  vlen që ç´do ${\displaystyle y}$  element i ${\displaystyle B}$  dhe ekziston një elementë ${\displaystyle x}$  i tillë që :

${\displaystyle (\forall y\in B)(\exists !x\in A),g:y\to x=g(y)}$ 

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers ${\displaystyle g}$  të pasqyrimit ${\displaystyle f}$ .
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers ${\displaystyle f}$  zakonisht shënohet si :${\displaystyle f^{-}}$  Për pasqyrimin ${\displaystyle f}$  themi se është kodomen i domenit ${\displaystyle f^{-}}$  dhe në të njëjtën kohë domeni ${\displaystyle f}$  është kodomen i ${\displaystyle f^{-}}$ .
Figura:

• Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit ${\displaystyle x}$  të bashkësisë ${\displaystyle A}$  i përgjigjet (ekziston së paku një) element ${\displaystyle y}$  i bashkësisë ${\displaystyle B}$ , i tillë që në bashkësinë ${\displaystyle C}$  ekziston së paku një element ${\displaystyle z}$  i cili i përgjigjet ${\displaystyle y}$ .Në gjuhen matematikore kjo duket si :

${\displaystyle (\forall x\in A)(\exists !z\in C)(g\circ f):x\to z=g{f(x)}.}$ 

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:

${\displaystyle f:A^{2}\to A}$ 

Ligjet e veprimeve binare

1. ligji komutativ është nëse vlen:${\displaystyle (\forall a,b\in A)a\circ b=b\circ a.}$ 
2. ligji asociativ është nëse vlen:${\displaystyle (\forall a,b,c\in A)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$ 
3. ligji distributiv është nëse vlen: ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A)a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c).}$ 

• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët ${\displaystyle A}$  është i përkufizuar veprimi binar ${\displaystyle \circ }$  atëherë për ${\displaystyle (A,\circ )}$  themi se është grupoid.
• Po që se veprimi binarë ${\displaystyle \circ }$  grupoidit ${\displaystyle (A,\circ )}$  është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët ${\displaystyle A}$  ekziston një element ${\displaystyle e}$  me vetinë:

${\displaystyle (\forall a\in A)a\circ e=e\circ a=a}$  ,atëherë për ${\displaystyle e}$  themi se është element neutral.

Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

• Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

1. ${\displaystyle (A,\oplus )}$  është grup abelian,
2. ${\displaystyle (A,\otimes )}$  është grupoid dhe
3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.

• Trupi

Trup quhet unaza asociative ${\displaystyle (A,\oplus ,\otimes )}$  nëse ${\displaystyle (A_{1},\otimes )}$  është grup, ku ${\displaystyle A_{1}=A|\left\{0\right\}}$ .

• Fusha

Fushë quhet trupi ${\displaystyle (A,\oplus ,\otimes )}$  nëse shumëzimi është kumutativ.

P