חבורה אבלית: מבנה אלגברי במתמטיקה

דהיינו, לכל שני איברים ${\displaystyle a,b}$ מתקיים ${\displaystyle a*b=b*a}$. חבורות אבליות מכלילות את האריתמטיקה של פעולת החיבור ביחס למספרים שלמים.

המתמטיקה שזורה בדוגמאות לחבורות אבליות, המופיעות בין היתר כתשתית למבנים מורכבים יותר, כגון מרחב וקטורי או מודול. למעשה, החבורות האבליות הן מודולים מעל חוג המספרים השלמים, ובמקרים רבים המינוח המקורי מתורת החבורות עבר בדרך זו לתורת המודולים.

• אוסף המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, משום שלכל שני מספרים שלמים מתקיים ${\displaystyle n+m=m+n}$ .
• באופן כללי יותר, כל חבורה ציקלית היא חבורה אבלית.
• לעומת זאת, החבורה הסימטרית ${\displaystyle S_{n}}$  אינה אבלית (כאשר ${\displaystyle n>2}$ ).

כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית ולכן פתירה. מקור נוסף לדוגמאות הוא חבורות שאבריהן הם מספרים, כגון חבורות אוילר.

כל תת-חבורה או חבורת מנה של חבורה אבלית, גם היא אבלית; סכום ישר של חבורות אבליות הוא חבורה אבלית. כאשר מרחיבים חבורה אבלית בחבורה אבלית אחרת, התוצאה היא אמנם חבורה פתירה, אבל אינה חייבת להיות אבלית.

כמעט בכל מקרה, החלק החיבורי של מבנה אלגברי הוא חבורה אבלית. כך למשל, כל חוג (ובפרט שדה) הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, וכך גם כל מרחב וקטורי. שדה הוא גם חבורה אבלית ביחס לכפל, לאחר שמוציאים ממנו את איבר האפס.

בדרך כלל מסמנים את הפעולה של חבורה אבלית ${\displaystyle M}$  ב-"${\displaystyle +}$ " ולא בכפל, ואת איבר היחידה ב-0 ולא ב-1 או ${\displaystyle e}$ . מקור סימון זה הוא מהחבורה החיבורית של חוג השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . סימון זה נועד לבדל גם מפעולת הכפל, שהיא פעולה נוספת בחוג זה, וכן מפעולת חבורה אחרת ${\displaystyle G}$  על ${\displaystyle M}$  (כאשר ${\displaystyle G}$  היא חבורה הפועלת על חבורה אבלית ${\displaystyle M}$  באופן קומפטיבילי מקבלים מבנה של G-מודול).

מבחינים בין שני סוגים של חבורות אבליות: אלו שנוצרות סופית, כלומר יש להן מספר סופי של יוצרים, ואלו שאינן נוצרות סופית. החבורות מן הטיפוס השני מעניינות בעיקר כשיש להן מבנה נוסף, למשל טופולוגיה או סדר. דוגמה לחבורה (מפותלת) שאינה נוצרת סופית: ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ , ביחס לפעולת החיבור. על מיון החבורות האבליות הנוצרות סופית, שהוכיחו פרדיננד פרובניוס ולודוויג שטיקלברגר (אנ') ב-1879, ראו להלן.

חבורה (אבלית או שאינה אבלית) שבה כל האיברים הם בעלי סדר סופי, נקראת חבורה מפותלת, ואם אף איבר (פרט לאיבר היחידה) אינו בעל סדר סופי, היא נקראת חסרת פיתול. תת-חבורת הפיתול, ${\displaystyle t(A)}$ , מורכבת מכל האיברים שלהם סדר סופי, והיא תת-חבורה מפותלת מקסימלית של ${\displaystyle A}$ . חבורת המנה ${\displaystyle A/t(A)}$  תמיד חסרת פיתול.

כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת; גם להפך: חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  היא חסרת פיתול. סכום ישר של חבורות מפותלות הוא מפותל, אבל המכפלה הישרה אינה שומרת על תכונת הפיתול. לדוגמה, במכפלה הישרה ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$  יש גם איברים חסרי פיתול.

חבורה היא חליקה אם לכל איבר יש שורש מכל סדר; תכונה זו מתקיימת אם ורק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות. כל תת-חבורה חליקה היא מחובר ישר, כלומר, אם ${\displaystyle D}$  תת-חבורה חליקה של חבורה אבלית ${\displaystyle A}$ , אז ${\displaystyle A}$  היא סכום ישר של ${\displaystyle D}$  ושל תת-חבורה אחרת. אם ${\displaystyle A}$  חליקה אז גם ${\displaystyle t(A)}$  חליקה, ולכן אפשר לפרק ${\displaystyle A=t(A)\oplus (A/t(A))}$  כשהמרכיב השני חליק וחסר פיתול.

חבורה אבלית בעלת בסיס (סופי או אינסופי) נקראת חבורה אבלית חופשית; אלו הן החבורות שאפשר להציג כסכום ישר של עותקים של ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . החבורות החופשיות הן חסרות פיתול, ולא חליקות. מאידך, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  חליק וחסר פיתול, וחבורת המנה ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$  מפותלת וחליקה. כל חבורה מהצורה ${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Q} ,A)}$  היא חליקה.

חבורה אבלית נקראת מצומצמת (reduced) אם אין לה תת-חבורות חליקות (פרט ל-0). עבור כל חבורה אבלית A, התמונה של ההומומורפיזם הטבעי ${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Q} ,A)\to A}$  היא תת-החבורה החליקה המקסימלית של A. בפרט, A מצומצמת אם ורק אם ${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Q} ,A)=0}$ .

הפונקטור Ext ממיין הרחבות של חבורות (ומודולים). חבורה היא קו-מפותלת (cotorsion) אם ${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Q} ,A)={\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Q} ,A)=0}$  (לפעמים המונח מתייחס רק לתנאי על טריוויאליות ההרחבות). כל חבורה קו-מפותלת היא מצומצמת. לכל חבורה מצומצמת A, ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,A)}$  הוא החבורה הקו-מפותלת הקטנה ביותר המכילה את A. חבורה בעלת אקספוננט סופי היא קו-מפותלת.

מושגים אלה ניתנים להכללה עבור מודולים מעל תחום שלמות כלשהו.

לפי משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, כל חבורה אבלית נוצרת סופית אפשר להציג, באופן יחיד, כסכום ישר של חבורה סופית וחבורה אבלית חופשית, שגם היא נוצרת סופית. אם החבורה מפותלת היא סופית (והחלק החופשי מתאפס), ואם היא חסרת פיתול - היא חופשית (והחלק הסופי מתאפס). חבורה סופית אפשר לכתוב כסכום ישר של חבורות ציקליות, שכולן מסדר חזקת-ראשוני.

משפטי פירוק ידועים גם עבור חבורות אבליות שאינן נוצרות סופית.

• עבור חבורות אבליות מפותלות:
  • יש פירוק (יחיד) לסכום ישר של "חבורות פרימריות", שהן חבורות שבהן הסדר של כל איבר הוא חזקה של אותו מספר ראשוני. לדוגמה, ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\bigoplus \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ .
  • חבורה עם פיתול חסום (היינו, עם חסם על סדר האיברים) היא סכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.
  • חבורה פרימרית חליקה היא סכום ישר של החבורות ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ .
  • משפט אולם ממיין את החבורות הפרימריות המצומצמות בנות המניה, ודרך זה את כל החבורות האבליות המפותלות בנות-המניה.
• עבור חבורות אבליות חסרות פיתול:
  • כל חבורה חסרת פיתול משוכנת בחבורה אבלית חופשית.
  • חבורה חליקה וחסרת פיתול היא מרחב וקטורי מעל הרציונליים.
  • חבורה קו-מפותלת וחסרת פיתול מתפרקת לסכום ישר של החבורות ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  (שדה המספרים ה-p-אדיים), לערכים שונים של p.
• באופן כללי:
  • תת-החבורה המפותלת המקסימלית היא יחידה. המנה חסרת הפיתול המקסימלית היא יחידה.
  • חבורה אבלית חליקה היא סכום ישר של המרכיב המפותל והמרכיב חסר הפיתול.

כל חבורה אבלית נוצרת סופית ניתנת לצמצום בקטגוריה של החבורות האבליות, כלומר, אם ${\displaystyle A\oplus B\cong A\oplus B'}$  כאשר ${\displaystyle A}$  נוצרת סופית, אז ${\displaystyle B\cong B'}$ .

  מדיה וקבצים בנושא חבורה אבלית בוויקישיתוף

• חבורה אבלית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• חבורה אבלית, באתר MathWorld (באנגלית)