群论 |
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群 |
无限维群 | 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) | |
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阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被较为徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。
定義
群 對於所有的 ,都滿足 (交換律)的話,稱 為阿貝爾群或交換群,反之被稱爲「非阿貝爾群」或「非交換群」。
符號
群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。
運算 | 表示法 | 單位元 | 冪 | 逆元 |
加法運算 | | 0 | | |
乘法運算 | 或 | 1 | | |
乘法符號是群的常用符號,而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時,加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。
乘法表
驗證有限群是阿貝爾群,可以構造類似乘法表的一種表格(或說矩陣),稱爲凱萊表。如果群 在運算 下,則這個表的 元素即是 。群是阿貝爾群若且唯若這個表是關於主對角線是對稱的(或說這個矩陣是對稱矩陣)。這是因為對於阿貝爾群, ,即表格中的 元素等於 元素。如下表所示:
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例子
歷史注記
阿貝爾群是Camille Jordan以挪威數學家尼尔斯·阿贝尔命名的,他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與根式可解性的聯繫的重要性。
性質
有限阿貝爾群
整數模以 的循環群 是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和,并且這些階數是唯一確定的,形成了一個不變量(invariant)的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群可以依據這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger在1879年的論文,后來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模,形成了線性代數的一個重要組成部分。
分類
有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群 都可以表達為質數冪階的循環子群的直和。這是有限生成阿貝爾群的基本定理在 有零秩時的特殊情況。
階的循環群 同構於 與 的直和,當且僅當 與 是互素的。可推出任何有限阿貝爾群 同構於如下形式的直和
-
以任何下列規范方式:
- 數 是素數的冪
- 整除 ,它又整除 ,如此直到 。
例如, 可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和: 。對于任何15階的阿貝爾群這也成立,導致了所有15階阿貝爾群都是同構的顯著結論。
另一個例子,所有8階段阿貝爾群都同構於要么 (整數0到7在模8加法下), (奇數1到15在模16乘法下),要么 。
小於等于16階的有限阿貝爾群可參見小群列表。
自同構
可以應用基本定理去計數(有時確定)給定有限阿貝爾群 的自同構。要這么做,可利用如果 分解為互素階的子群的直和 ,則 的事實。
基本定理證明了要計算 的自同構群,分別計算西羅 -子群的自同構群就足夠了(也就是所有的循環子群的直和,每個都有 的冪的階)。固定一個素數 并假設西羅 -子群的循環因子的指數 是按遞增次序安排的:
-
對於某個 。需要找到
-
的自同構。一個特殊情況是在 的時候,此時在西羅 -子群 中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限循環群的自同構的理論。另一個特殊情況是在 為任意的但 對於 的時候。這里考慮 為有著形式
-
所以這個子群的元素可以被看作構成了在 元素的有限域 上的 維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換,因此
-
它早先證明了有階
-
在最一般情況下,這里的 和 是任意的,自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義
-
并且
-
則有著特別的 , ,并且
- 。
可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階(參見[Hillar, Rhea])。
參見
注釋
引用
- Fuchs, László(1970)Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp. MR0255673
- ------(1973)Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. MR0349869
- Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. 1970. ISBN 0-226-30870-7.
- Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly 114, no. 10, 917-923. [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆).
- Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," Fundamenta Mathematica 41: 203-71.
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