איבר יחידה

כאשר נתונים קבוצה ${\displaystyle \ S}$ ופעולה בינארית, שנסמנה ${\displaystyle \ \star }$, המוגדרת על איבריה, אזי:

• איבר ${\displaystyle \ e\in S}$ ייקרא איבר יחידה שמאלי, אם לכל ${\displaystyle \ x\in S}$ מתקיים ${\displaystyle \ e\star x=x}$.
• איבר ${\displaystyle \ e\in S}$ ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל ${\displaystyle \ x\in S}$ מתקיים ${\displaystyle \ x\star e=x}$.

אם ${\displaystyle \ e}$ הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.

נניח כי ${\displaystyle \ e,e^{\prime }}$ איברי יחידה, אז ${\displaystyle \ e=e\star e^{\prime }=e^{\prime }}$ ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.

נניח כי${\displaystyle e_{R},e_{L}}$ איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז ${\displaystyle e_{L}=e_{L}\star e_{R}=e_{R}}$ ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.

במבנים אלגבריים רבים, כגון חבורה, חוג ושדה, קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.

• בפעולת החיבור המקובלת, איבר היחידה הוא 0, משום שלכל מספר a מתקיים: ${\displaystyle a+0=0+a=a}$ . איבר יחידה זה קרוי איבר האפס.
• בפעולת הכפל המקובלת, איבר היחידה הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: ${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$ .
• בפעולת החזקה המקובלת, איבר היחידה הימני הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: ${\displaystyle a^{1}=a}$ .‏ 1 אינו איבר היחידה השמאלי, ${\displaystyle 1^{a}=1}$ , לא קיים איבר יחידה שמאלי לחזקה.
• בכפל מטריצות איבר היחידה הוא מטריצת היחידה ${\displaystyle \ I}$ , שהיא המטריצה שרכיבי האלכסון שלה הם 1 ושאר הרכיבים אפס, המקיימת: ${\displaystyle \ A\cdot I=I\cdot A=A}$ .
• בפעולת איחוד בין קבוצות, איבר היחידה הוא הקבוצה הריקה.
• בהרכבת פונקציות, איבר היחידה הוא פונקציית הזהות.

• איבר יחידה, באתר MathWorld (באנגלית)