Абелева Група

для любых элементаў a і b гэтай групы справядліва тоеснасць

${\displaystyle a\circ b=b\circ a.}$

Часта аперацыю, для якой справядлівы перамяшчальны закон, называюць камутатыўнай.

Абелевы групы названы так у гонар нарвежскага матэматыка Нільса Абеля.

Звычайна групавую аперацыю ў абелевых групах пазначаюць знакам «${\displaystyle +}$» (хоць групавая аперацыя можа не мець ніякага дачынення да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент абелевай групы называюць нулём і абазначаюць як 0; адваротны элемент называюць процілеглым і абазначаюць процілегласць з дапамогай знака «${\displaystyle -}$» на ўзор «${\displaystyle -a}$».

Аксіёмы абелевай групы

А́белевай гру́пай называецца непустое мноства G разам з бінарнай аперацыяй ${\displaystyle \circ :G\times G\to G,}$  якая задавальняе наступныя ўмовы:

1. Перамяшчальны закон (камутатыўнасць): для любых ${\displaystyle a,b\in G}$  справядліва:
   ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ 
2. Спалучальны закон (асацыятыўнасць): для любых ${\displaystyle a,b,c\in G}$  справядліва:
   ${\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$ 
3. Існуе нейтральны элемент ${\displaystyle e\in G,}$  г.зн. такі элемент, што для любога ${\displaystyle a\in G}$  справядліва:
   ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ 
4. Для кожнага элемента ${\displaystyle a\in G}$  існуе адваротны элемент ${\displaystyle a^{-1}\in G,}$  г.зн. такі элемент, што
   ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$ 

• Для цэлых лікаў і аперацыі складання "+", абазначаных (Z, +), аперацыя + камбінуе два цэлых лікі каб стварыць трэці, складанне асацыятыўнае, нейтральным элементам з'яўляецца нуль, кожны цэлы лік n мае адваротны элемент -n, а складанне камутатыўнае, таму што m + n = n + m для давольных цэлых лікаў m і n.
• Кожная цыклічная група з'явўляецца абелевай, таму што калі x, y належаць да G, то xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. Такім чынам цэлыя лікі Z ствараюць абелеву групу з аперацыяй складання, як і астачы па модулю n , Z/nZ.
• Кожнае колца з'яўляецца абелевай групай, адносна аперыцыі складання. Усе элементы колца, да якіх існуе адваротны элемент адносна множання, ствараюць абелеву мультыплікатыўную групу. У прыватнасці, рэчаісныя лікі з'яўляюцца групай адносна складання. а ўсе ненулявыя рэчаісныя лікі ствараюць абелеву групу адносна множання.

• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004.