Trong toán học, nhóm giao hoán, còn được gọi là nhóm Abel, là nhóm mà việc áp dụng phép toán hai ngôi cho hai phần tử trong nhóm không phụ thuộc vào thứ tự của hai phần tử đó.
Nghĩa là phép toán nhóm có tính giao hoán. Với phép cộng làm phép toán trong nhóm, tập các số nguyên và tập các số thực tạo thành nhóm Abel, khái niệm nhóm Abel tổng quát hóa các ví dụ này. Tên "nhóm Abel" được đặt tên theo nhà toán học thế kỷ 19 Niels Henrik Abel.
Khái niệm nhóm giao hoán nằm dưới nhiều cấu trúc đại số quan trọng như trường, vành, không gian vectơ, và đại số trên trường. Lý thuyết các nhóm abel nhìn chung đơn giản hơn lý thuyết các nhóm phi abel, và các nhóm abel hữu hạn đã được phân loại.
Nhóm giao hoán là tập hợp G cùng với một phép toán hai ngôi thỏa mãn các tiên đề sau:
Nhóm mà phép toán không có tính giao hoán được gọi là nhóm phi abel
CÓ hai cách ký hiệu chính cho nhóm Abel, ký hiệu phép cộng và ký hiệu phép nhân.
Ký hiệu | Phép toán | Phần tử đơn vị | Lũy thừa | Nghịch đảo |
---|---|---|---|---|
Phép cộng | 0 | |||
Phép nhân | hay | 1 |
Thường thì ký hiệu phép nhân được sử dụng cho nhóm nói chung, và ký hiệu phép cộng thường được sử dụng cho mô đun và vành. Ký hiệu phép cộng đôi khi thường sử dụng để nhấn mạnh nhóm mà phép toán trong đó có tính giao hoán khi ta đang xét cả hai nhóm giao hoán và không giao hoán, một số ngoại lệ nổi bật khác bao gồm gần vành và nhóm sắp thứ tự một phần, trong đó phép toán ký hiệu theo phép cộng kể cả khi nhóm không giao hoán.:28–29
Để kiểm tra nhóm hữu hạn có giao hoán hay không, một bảng (hoặc ma trận) – được gọi là bảng Cayley – được xây tương tự như bảng cửu chương. Cho nhóm cùng với phép toán , ô tại vị trí của bảng này chứa tích .
Nhóm giao hoán khi và chỉ khi bảng này đối xứng qua đường chéo chính. Điều này đúng bởi nhóm giao hoán khi và chỉ khi khi và chỉ khi với mọi ,và đúng khi và chỉ khi các ô của bảng bằng với ô với mọi , tức bảng đối xứng qua đường chéo chính.
Cho G là một nhóm Abel (giao hoán)
This article uses material from the Wikipedia Tiếng Việt article Nhóm giao hoán, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Nội dung được phát hành theo CC BY-SA 4.0, ngoại trừ khi có ghi chú khác. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Tiếng Việt (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.