Οι αβελιανές ομάδες πήραν την ονομασία τους από τον Νορβηγό μαθηματικό Νιλς Χένρικ Άμπελ (Nils Henrik Abel):20 διότι ο Abel ήταν ο πρώτος που βρήκε ότι η μεταθετικότητα των στοιχείων μίας ομάδας ενός πολυωνύμου σχετίζεται με τον υπολογισμό των ριζών του.:39 Η χρήση της λέξης «αβελιανή» έχει γίνει τόσο κοινή στα Μαθηματικά, ώστε καθιερώθηκε να γράφεται με μικρό «α».
Η έννοια των αβελιανών ομάδων είναι από τις πρώτες που εισάγονται στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας πάνω στην οποία βασίζονται βασικές έννοιες όπως τα πρότυπα, οι διανυσματικοί χώροι κ.ά.
Ορισμός
Μια αβελιανή ομάδα είναι μία ομάδα με σύνολο και δυαδική πράξη , η οποία ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα:
- Για κάθε , ισχύει ότι .
Επομένως, συνολικά η αβελιανή ομάδα ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:
- Κλειστότητα: Για κάθε , ισχύει ότι .
- Προσεταιριστική ιδιότητα: Για κάθε , ισχύει ότι .
- Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: Υπάρχει ένα στοιχείο , ώστε για κάθε , .
- Ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου: Για κάθε , υπάρχει ώστε .
- Αντιμεταθετική ιδιότητα: Για κάθε , ισχύει ότι .
Παραδείγματα
- Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την πρόσθεση , καθώς για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς .: 19 : 39
- Κάθε κυκλική ομάδα είναι αβελιανή.: 59
- Ως κυκλικές ομάδες, οι ακέραιοι φτιάχνουν μια αβελιανή ομάδα με πράξη την πρόσθεση, και το ίδιο και οι ακέραιοι με υπόλοιπο με πράξη την πρόσθεση, .
- Κάθε δακτύλιος μαζί με την πρόσθεση.
- Κάθε ομάδα με στοιχεία είναι αβελιανή.: 27
- Κάθε ομάδα με για κάθε , είναι αβελιανή.: 32 : 48
Ιδιότητες
- Ο πίνακας Cayley μίας αβελιανής ομάδας είναι συμμετρικός ως προς την διαγώνιο, καθώς .: 11
- Κάθε υποομάδα μία αβελιανής ομάδας είναι κανονική.: 5
- Έστω ένας μονομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων και . Αν η είναι αβελιανή, τότε είναι και η .: 59 : 126
Δείτε επίσης
- Πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες
- Επιλύσιμες ομάδες
Παραπομπές
This article uses material from the Wikipedia Ελληνικά article Αβελιανή ομάδα, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Το περιεχόμενο είναι διαθέσιμο υπό CC BY-SA 4.0 εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Ελληνικά (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.