ക്രമഗ്രൂപ്പ്

അതായത്, ഗ്രൂപ്പിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെമേൽ സംക്രിയ ഉപയോഗിച്ചാലും കിട്ടുന്ന ഉത്തരം അംഗങ്ങളുടെ ക്രമത്തെ ആശ്രയിക്കരുത്. (G,•) എന്ന ക്രമഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണ് a, b എങ്കിൽ a • b = b • a എന്ന് വരും.

സങ്കലനം സംക്രിയയായ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണം ക്രമഗ്രൂപ്പിന് ഉദാഹരണമാണ്. ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം തന്നെ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണ്. എന്നാൽ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളല്ല. ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് ഒരു ചാക്രികമല്ലാത്ത ക്രമഗ്രൂപ്പാണ്. ക്രമഗ്രൂപ്പല്ലാത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ ഗ്രൂപ്പ് ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ ${\displaystyle D_{3}}$ ആണ്

(G,•) എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടികയിലെ a ആം വരിയിലെ b ആം അംഗം a • b യും b ആം വരിയിലെ a ആം അംഗം b • a യും ആണ്. G ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പാണ് എന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഈ രണ്ട് വിലകളും തുല്യമായിരിക്കും. അതായത്, കെയ്ലി പട്ടിക ഒരു സമമിതീയ മാട്രിക്സ് ആണെന്ന് വരുന്നു.

ഏതൊരു പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പിനെയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘാതം അംഗങ്ങളുള്ള ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളുടെ നേർതുകയായി എഴുതാൻ സാധിക്കും. ഈ പ്രസ്താവനയെ പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ അടിസ്ഥാനസിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• http://mathworld.wolfram.com/AbelianGroup.html