Grupu Abelianu

Dizse que la estructura ${\displaystyle (A,\circ )}$ ye un grupu abeliano con al respective de la operación ${\displaystyle \circ }$ si:

1. ${\displaystyle (A,\circ )}$ tien estructura alxebraica Grupu.
2. ${\displaystyle (A,\circ )}$ tien la Propiedá conmutativa.

Los grupos abelianos son asina llamaos n'honor al matemáticu noruegu Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos nel estudiu de les ecuaciones alxebraiques solubles por radicales. Los grupos que nun son conmutativos denominar non abelianos (tamién non conmutativos, con menos frecuencia).

Hai dos notaciones principales pa los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descrites de siguío.

La notación multiplicativa nun ye otra que la notación avezada pa los grupos, ente que la aditiva ye la notación avezada para módulos. Cuando se trabaya namái con grupos abelianos, usualmente úsase la notación aditiva.

Tou grupu cíclicu G ye abeliano, pos si x, y ∈ G = <a>, x = a^m y y = aⁿ pa dellos m, n enteros, colo cual, xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. En particular, el grupu Z d'enteros so la suma ye abeliano, al igual que'l grupu d'enteros módulu n, Z_n.

Los númberos reales formen un grupu abeliano cola adición, al igual que los reales non nulos cola multiplicación.

Tou aniellu ye un grupu abeliano con al respective de la so adición. Nun aniellu conmutativu, los elementos invertibles formen un grupu abeliano so la multiplicación.

Tou subgrupu d'un grupu abeliano ye normal, y poro, pa tou subgrupu hai un grupu cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumes direutes de grupos abelianos son tamién abelianos.

• Si n ye un númberu natural y x un elementu d'un grupu abeliano G (con notación aditiva), puede definise nx = x + x +... + x (n sumandos), y (−n)x = −(nx), colo que G vuélvese un módulu sobre l'aniellu Z de los enteros. Ello ye que los módulos sobre Z nun son otros que los grupos abelianos.
• Si f, g: G → H son dos homomorfismos ente grupos abelianos, la so suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) ye tamién un homomorfismo; esto nun se cumple polo xeneral pa grupos non abelianos. Con esta operación, el conxuntu de homomorfismos ente G y H vuélvese, entós, un grupu abeliano en sí mesmu.

El grupu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  de los enteros módulu n ye un grupu cola operación de la suma módulu n. Esti grupu ye abeliano y finito.
La siguiente resultancia indícanos que los anteriores formen la estructura básica de tolos conxuntos abelianos finitos.

Teorema: Tou grupu abeliano finito G ye isomorfu a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p_{1}^{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus Z_{p_{r}^{k_{r}}}}$ , onde ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$  son númberos primos y ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{r}\in \mathbb {N} }$ .
Los enteros ${\displaystyle p_{1}^{k_{1}},\ldots ,p_{r}^{k_{r}}}$  son únicos a menos del orde.

Veamos un par d'exemplos.

Salvu isomorfismos esisten cinco grupos abelianos con 16 elementos.
P'amosar ello, repare primero que 16=2⁴, polo que les formes de descomponer 16 como productu de naturales mayores a 1 son (a menos d'orde): ${\displaystyle 16=16,\ 16=2\times 8,\ 16=2\times 2\times 4,\ 16=2\times 2\times 2\times 2{\mbox{ y }}16=4\times 4}$ .
Per ende un grupu abeliano con 16 elementos ye isomorfu a unu y namái unu de los siguientes: ${\displaystyle \mathbb {Z} _{16},\ \mathbb {Z} _{8}\oplus \mathbb {Z} _{2},\ \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2},\ \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2},\ \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{4}}$ .

Tou grupu abeliano d'orde 30 ye isomorfu a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\oplus \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ .
Esto debe a que nun hai otra forma d'escribir 30 como productu de potencies de primos que ${\displaystyle 30=2\times 3\times 5}$ .

Una forma equivalente de dar el teorema anterior ye la siguiente:

Teorema: Tou grupu abeliano finito G ye isomorfu a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d_{1}}\oplus \ldots \oplus Z_{d_{t}}}$ , onde ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{t}}$  son enteros mayores a 1 que verifiquen ${\displaystyle d_{i}|d_{i+1}\ \forall i=1,\ldots ,t-1}$ . Los enteros ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{t}}$  son únicos.

Esti teorema deducir del anterior utilizando que ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\oplus \mathbb {Z} _{n}}$  ye isomorfu a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{nm}}$  cuando n y m son coprimos.