Աբելյան Խումբ

Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար։

• Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում։
• Աբելյան ցանկացած ցիկլային խումբ ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$ ։ Իրոք ճիշտ է ցանկացած ${\displaystyle x=a^{n}}$  և ${\displaystyle y=a^{m}}$ , որ
  ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ ։
  • Մասնավորապես, ամբողջ թվի ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,}$  համար։
• Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել ${\displaystyle \mathbb {R} }$  իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով։
• Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես, ցանկացած դաշտի ոչզրոյական տարրերը) կազմում են բազմապատկման աբելյան խումբ։ Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով։

• Վեկտորական տարածությունում համաչափության համանմանությամբ, յուրաքանչյուր աբելյան խումբ ունի կարգ։ Այն որոշվում է ինչպես նվազագույն վեկտորական տարածության համաչափություն ռացիոնալ թվերի ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  դաշտում, որում ներդրվում է խմբի ֆակտորի հյուսումը։

• Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է։
  • իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է։
• Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ։ Իրոք, դիցուք ${\displaystyle n}$ ը բնական թիվ է, իսկ ${\displaystyle x}$ ը տեղափոխական խմբի տարր ${\displaystyle G}$  գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ ${\displaystyle nx}$  կարելի է որոշել ինչպես ${\displaystyle x+x+\ldots +x}$  (${\displaystyle n}$  անգամ) և ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ ։
  • Պնդումները և թեորեմները, ճիշտ են աբելյան խմբերի համար (այսինքն. մոդուլի նկատմամբ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  գլխավոր իդեալներ տիրույթ), հաճախ կարող են մոդուլը ընդհանրացնել կամայական գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։Բնորոշ օրինակ է հանդիսանում վերջավոր աբելյան խմբի դասակարգումը, որը կարող ենք ընդհանրացնել մինչև ցանկացած վերջավոր մոդեւլի դասակարգումը գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ։
• Հոմոմորֆիզմ բազմություն ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}$  բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ ${\displaystyle G}$ -ից ${\displaystyle H}$ , նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ։ Իրոք, դիցուք ${\displaystyle f,\;g:G\to H}$  երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը ${\displaystyle f+g}$ , տրված ինչպես ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ , նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե ${\displaystyle H}$  չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ)։
• Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն ${\displaystyle Z(G)}$  հասկացության հետ, ${\displaystyle G}$  խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից,որոնք տեղափոխում են ${\displaystyle G}$  խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում։»Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ։

Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ։ Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն։ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$  իզոմորֆ է ուղղակի գումարին ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$  և ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ ${\displaystyle m}$  և ${\displaystyle n}$  փոխադարձ պարզ են։ Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել ${\displaystyle G}$  ուղղակի գումարի տեսքի

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$ 

երկու տարբեր եղանակներով։

• Որտեղ թիվ ${\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}$  պարզ աստիճանի է։

• Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ , որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ ${\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ , որ ${\displaystyle d^{2}=0}$ : Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ։ Դիֆերենցիալ խմբի տարրերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝ ${\displaystyle \ker \,d}$  ցիկլ, պատկերի տարրերը՝ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,d}$  սահմանային։

• Հանրահաշվական համակարգ