Grup Abelian: Grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya

Artinya, operasi grup adalah komutatif. Dengan tambahan sebagai operasi, bilangan bulat dan bilangan riil membentuk grup abelian, dan konsep grup abelian dapat dilihat sebagai generalisasi dari contoh ini. Grup Abelian dinamai matentikawan awal abad ke-19 Niels Henrik Abel.

Konsep grup abelian mendasari struktur aljabar fundamental, seperti bidang, gelanggang, ruang vektor, dan aljabar. Teori grup abelian umumnya lebih sederhana dari teori rekan non-abelian, dan grup abelian hingga sangat dipahami dan diklasifikasikan.

Grup abelian adalah himpunan ${\displaystyle A}$  dengan operasi ${\displaystyle \cdot }$  yang menggabungkan dua elemen ${\displaystyle a}$  dan ${\displaystyle b}$  dari ${\displaystyle A}$  untuk membentuk elemen lain dari ${\displaystyle A}$  dilambangkan ${\displaystyle a\cdot b}$ . Simbol ${\displaystyle \cdot }$  adalah placeholder umum untuk operasi diberikan secara konkret. Untuk memenuhi syarat sebagai grup abelian, himpunan dan operasi ${\displaystyle (A,\cdot )}$  harus memenuhi lima persyaratan yang dikenal sebagai aksioma grup abelian:

Penutupan
Untuk ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  dengan ${\displaystyle A}$ , hasil operasi ${\displaystyle a\cdot b}$  dengan ${\displaystyle A}$ .
Asosiatif
Untuk ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , dan ${\displaystyle c}$  dalam ${\displaystyle A}$ , persamaan ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .
Elemen identitas
Elemen ${\displaystyle e}$  dalam ${\displaystyle A}$ , maka untuk semua elemen ${\displaystyle a}$  dengan ${\displaystyle A}$  adalah persamaan ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$ .
Elemen invers
Untuk ${\displaystyle a}$  dengan ${\displaystyle A}$ , elemen ${\displaystyle b}$  dalam ${\displaystyle A}$  maka ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$ , dimana ${\displaystyle e}$  adalah elemen identitas.
Komutatif
Untuk ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  dengan ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ .

Grup operasi merupakan grup tersebut tidak komutatif disebut "grup non-abelian" atau "grup non-komutatif".

Notasi

Ada dua ketentuan notasi utama untuk grup abelian pada aditif dan perkalian.

Konvensi	Operasi	Identitas	Pangkat	Invers
Penambahan	${\displaystyle x+y}$	0	${\displaystyle nx}$	${\displaystyle -x}$
Perkalian	${\displaystyle x\cdot y}$  atau ${\displaystyle xy}$	1	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle x^{-1}}$

Umumnya, notasi perkalian adalah notasi umum untuk grup, sedangkan notasi penjumlahan adalah notasi umum untuk modul dan gelanggang. Notasi aditif digunakan untuk menekankan bahwa grup tertentu adalah abelian, setiap kali grup abelian dan non-abelian beberapa pengecualian penting adalah dekat gelanggang dan grup terurut sebagian, dimana operasi ditulis secara aditif bahkan ketika non-abelian.

Tabel perkalian

Untuk memverifikasi bahwa grup hingga adalah abelian dengan tabel (matriks) yang dikenal sebagai tabel Cayley. Dengan cara menggunakan tabel perkalian. Jika grup ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$  di bawah operasi ${\displaystyle \cdot }$ , ke ${\displaystyle (i,j)}$  entri tabel ini menggunakan produk ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$ .

Grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika tabel tersebut simetris dengan diagonal utama. Karena grup tersebut adalah abelian jika dan hanya jika ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$  untuk ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ , jika di luar ${\displaystyle (i,j)}$  entri tabel sama dengan ${\displaystyle (j,i)}$  entri untuk ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ , yaitu tabel simetris dengan diagonal utama.

• Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan ${\displaystyle +}$  dilambangkan ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, sedangkan nol adalah identitas aditif, setiap bilangan bulat ${\displaystyle n}$  dengan menggunakan aditif invers, ${\displaystyle -n}$  dan operasi penambahan bersifat komutatif karena ${\displaystyle n+m=m+n}$  untuk dua bilangan bulat ${\displaystyle m}$  dan ${\displaystyle n}$ .
• Setiap grup siklik ${\displaystyle G}$  adalah abelian, karena jika ${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$  dengan ${\displaystyle G}$ , maka ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ . Maka bilangan bulat, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh bilangan bulat modulo ${\displaystyle n}$  dan ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ .
• Setiap gelanggang adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen invers atau unit membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
• Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, maka setiap subgrup adalah grup hasil bagi. Subgrup, hasil, dan jumlah langsung adalah grup abelian. Grup abelian sederhana hingga merupakan grup siklik dari urutan prima.
• Konsep grup abelian dan modul-${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Lebih khusus, setiap modul-${\displaystyle \mathbb {Z} }$  adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dengan cara unik.

Secara umum, matriks bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup ${\displaystyle 2\times 2}$  pada matriks rotasi.

Camille Jordan menamai grup abelian setelah matematikawan asal norsk Niels Henrik Abel, karena Abel menemukan bahwa komutatifitas grup polinomial bahwa akar polinomial dapat dihitung dengan menggunakan akar.^:144–145

Jika ${\displaystyle n}$  adalah bilangan asli dan ${\displaystyle x}$  adalah elemen dari grup abelian ${\displaystyle G}$  yang ditulis secara aditif, maka ${\displaystyle nx}$  bisa didefinisikan sebagai ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$  (${\displaystyle n}$ ) dan ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ . Dengan cara ini, ${\displaystyle G}$  sebagai modul di atas gelanggang ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dari bilangan bulat. Maka, modul lebih dari ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang grup abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara hingga, teorema tersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak grup bentuk tak hingga ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$  untuk prima ${\displaystyle p}$ , dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Jika ${\displaystyle f,g:G\to H}$  adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah semua ${\displaystyle f+g}$ , ditentukan oleh ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$  adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika ${\displaystyle H}$  adalah grup non-abelian). Himpunan ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$  dari semua homomorfisme grup dari ${\displaystyle G}$  hingga ${\displaystyle H}$  merupakan grup abelian dalam itu sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat. Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup.^:49–50 Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subgrup aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (dari hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat ${\displaystyle Z(G)}$  dari grup ${\displaystyle G}$  adalah himpunan elemen dengan setiap elemen ${\displaystyle G}$ . Grup ${\displaystyle G}$  adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya ${\displaystyle Z(G)}$ . Pusat dari grup ${\displaystyle G}$  merupakan karakteristik subgrup abelian dari ${\displaystyle G}$ . Jika grup hasil bagi ${\displaystyle G/Z(G)}$  grup dengan pusat siklik ${\displaystyle G}$  adalah abelian.

Grup siklik dari bilangan bulat modulo ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  termasuk di antara contoh pertama grup. Ternyata grup abelian hingga trivial adalah isomorfik dari sejumlah langsung grup siklik hingga dari tatanan pangkat utama, dan tatanan ini ditentukan secara unik, membentuk sistem invarian kompleks. Grup automorfisme dari grup abelian hingga dapat dijelaskan secara langsung dalam istilah invarian. Teori ini pertama kali dikembangkan pada makalah tahun 1879 oleh Georg Frobenius, Ludwig Stickelberger, dan kemudian disederhanakan dan digeneralisasikan untuk modul yang dihasilkan secara halus, membentuk bab penting dari aljabar linear.

Setiap grup tatanan utama isomorfik ke grup siklik dan adalah abelian. Setiap grup yang urutannya adalah kuadrat dari bilangan prima juga adalah abelian. Maka, untuk setiap bilangan prima ${\displaystyle p}$  (isomorfisme hingga) tepat dua grup tatanan ${\displaystyle p^{2}}$ , yaitu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$  dan ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$ .

Klasifikasi

Teorema fundamental dari grup abelian hingga menyatakan bahwa setiap grup abelian hingga ${\displaystyle G}$  dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prima dengan urutan pangkat; hal tersebut dikenal sebagai teorema dasar untuk grup abelian hingga. Digeneralisasikan dengan teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; merujuk banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-grup modern sampai sekarang, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Grup siklik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$  dengan urutan ${\displaystyle mn}$  isomorfik dengan jumlah langsung dari ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$  dan ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  jika dan hanya jika ${\displaystyle m}$  dan ${\displaystyle n}$  adalah koprima. Oleh karena itu, setiap grup abelian hingga ${\displaystyle G}$  adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}$ 

dengan salah satu cara kanonik berikut:

• bilangan ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$  adalah pangkat bilangan prima (tidak harus berbeda),
• bilangan ${\displaystyle k_{1}}$  membagi ${\displaystyle k_{2}}$ , dimana ${\displaystyle k_{3}}$  dibagi ${\displaystyle k_{u}}$ .

Sebagai contoh, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$  dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik tatanan 3 dan 5: ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$ . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian tatanan 15, yang mengarah pada kesimpulan bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$  (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8), ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$  (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ .

Lihat pula daftar grup kecil untuk grup abelian hingga tatanan 30 atau kurang.

Automorfisme

Menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan ${\displaystyle G}$ . Untuk menggunakan fakta bahwa jika ${\displaystyle G}$  membagi sebagai jumlah langsung ${\displaystyle H\oplus K}$  dari subgrup koprima urutan, maka ${\displaystyle {\text{Aut}}(H\oplus K)\cong {\text{Aut}}(H)\oplus {\text{Aut}}(K)}$ .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari ${\displaystyle G}$  itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow ${\displaystyle p}$  subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat ${\displaystyle p}$ ). Perbaiki bilangan prima ${\displaystyle p}$  dan anggaplah eksponen ${\displaystyle e_{i}}$  dari faktor siklik dari subgrup Sylow ${\displaystyle p}$  disusun dalam urutan yang meningkat:

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$ 

untuk beberapa ${\displaystyle n>0}$ . Seseorang perlu menemukan automorfisme

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.}$ 

Satu kasus khusus adalah ketika ${\displaystyle n=1}$ , maka hanya ada satu faktor daya utama siklik pada subgrup Sylow ${\displaystyle p}$  dengan ${\displaystyle P}$ . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik hingga digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan ${\displaystyle n}$  trivial tetapi ${\displaystyle e_{i}=1}$  untuk ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ . Mempertimbangkan ${\displaystyle P}$  menjadi bentuk

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},}$ 

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi ${\displaystyle n}$  di atas bidang hingga elemen ${\displaystyle p}$  pada ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . Oleh karena itu, automorfisme subgrup ini diberikan oleh transformasi linear invers, maka

${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),}$ 

dimana ${\displaystyle {\text{GL}}}$  adalah grup linear umum yang sesuai, dengan mudah terbukti memiliki tatanan

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}$ 

Dalam kasus umum, dimana ${\displaystyle e_{i}}$  dan ${\displaystyle n}$  berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika mendefinisikan

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}^{\,}\}}$ 

dan

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$ 

maka seseorang memilikinya secara khusus ${\displaystyle k\leq d_{k}}$ , ${\displaystyle c_{k}\leq k}$ , dan

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$ 

Hal itu dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan tatanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).

Grup abelian A tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut generator) ${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$  sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah kombinasi linear dengan koefisien bilangan bulat elemen G.

Misalkan L menjadi grup abelian bebas dengan basis ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$  Homomorfisme grup unik ${\displaystyle p\colon L\to A,}$  sebagai

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{untuk }}i=1,\ldots ,n.}$ 

Homomorfisme ini adalah surjektif, dan kernel-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk gelanggang Noetherian). Pertimbangkan matriks M dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke j adalah koefisien dari generalisasi kernel j. Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap kokernel dari peta linear yang ditentukan M. Sebaliknya, setiap matriks bilangan bulat mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit A sama dengan mengalikan M sebelah kiri dengan matriks unimodular (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel M sama dengan mengalikan M sebelah kanan dengan matriks unimodular.

Bentuk normal Smith dari M adalah sebuah matriks

${\displaystyle S=UMV,}$ 

dimana U dan V unimodular, dan S adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol ${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$  adalah yang pertama, dan ${\displaystyle d_{j,j}}$  adalah pembagi dari ${\displaystyle d_{i,i}}$  untuk i > j. Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga A adalah jumlah langsung

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$ 

dimana r adalah jumlah baris nol di bagian bawah r (dan peringkat grup). Ini adalah teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.

Grup abelian tak hingga paling sederhana adalah grup siklik tak hingga ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Grup abelian yang dihasilkan secara hingga ${\displaystyle A}$  isomorfik jumlah langsung ${\displaystyle r}$  salinan dari ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dan grup abelian hingga, diuraikan menjadi jumlah langsung dari banyak grup siklik dari tatanan pangkat utama. Meskipun dekomposisinya tidak unik, bilangan ${\displaystyle r}$  atau disebut peringkat dari ${\displaystyle A}$ , dan pangkat utama yang memberikan urutan puncak siklik hingga ditentukan secara unik.

Sebaliknya, klasifikasi grup abelian umum yang dihasilkan tanpa batas masih jauh dari lengkap. Grup divisibel yaitu grup abelian ${\displaystyle A}$  dimana persamaan ${\displaystyle nx=a}$  sebagai solusi ${\displaystyle x\in A}$  untuk bilangan asli ${\displaystyle n}$  dan elemen ${\displaystyle a}$  dari ${\displaystyle A}$ , merupakan satu kelas penting dari grup abelian tak hingga yang dapat sepenuhnya dicirikan. Setiap grup divisibel adalah isomorfik ke jumlah langsung, dengan penjumlahan isomorfik sebagai ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  dan grup Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$  untuk berbagai bilangan prima ${\displaystyle p}$ , dan kardinalitas penjumlahan dari setiap jenis ditentukan secara unik. Selain itu, jika grup yang dapat dibagi ${\displaystyle A}$  adalah subgrup dari grup abelian ${\displaystyle G}$  maka ${\displaystyle A}$  sebagai pelengkap langsung: subgrup ${\displaystyle C}$  dari ${\displaystyle G}$  sedemikian rupa maka ${\displaystyle G=A\oplus C}$ . Dengan demikian, grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi dalam kategori grup abelian, dan sebaliknya, setiap grup abelian injeksi dapat dibagi (kriteria Baer). Grup abelian tanpa subgrup yang dapat dibagi bukan nol disebut tereduksi.

Dua kelas khusus penting dari grup abelian tak hingga dengan sifat berlawanan secara diametris adalah grup torsi dan grup bebas torsi, dicontohkan oleh grup ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$  (periodik) dan ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  (bebas torsi).

Grup torsi

Grup abelian disebut periodik atau torsi, jika setiap elemen memiliki terbatas tatanan. Jumlah langsung dari grup siklik hingga bersifat periodik. Meskipun pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum, beberapa kasus khusus diketahui. Teorema Prüfer pertama dan kedua menyatakan bahwa jika ${\displaystyle A}$  adalah grup periodik, dan memiliki eksponen terbatas, yaitu ${\displaystyle nA=0}$  untuk beberapa bilangan asli ${\displaystyle n}$ , atau dihitung dan tinggi-${\displaystyle p}$  elemen ${\displaystyle A}$  terbatas untuk setiap ${\displaystyle p}$ , maka ${\displaystyle A}$  adalah isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik hingga. Kardinalitas himpunan sumsum langsung isomorfik ke ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$  dalam dekomposisi invarian dari ${\displaystyle A}$ .^:6 Teorema ini kemudian dimasukkan dalam kriteria Kulikov. Di arah yang berbeda, Helmut Ulm menemukan perluasan dari teorema Prüfer kedua menjadi abelian grup-${\displaystyle p}$  yang dapat dihitung dengan elemen ketinggian tak hingga: grup itu sepenuhnya diklasifikasikan melalui invarian Ulm mereka.

Grup bebas torsi dan campuran

Grup abelian disebut bebas torsi jika setiap elemen bukan nol memiliki urutan tak hingga. Beberapa kelas dari grup abelian bebas torsi telah dipelajari secara ekstensif:

• Grup abelian bebas, yaitu jumlah langsung trivial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 
• Kotorsion dan kompak secara aljabar grup bebas torsi bilangan ${\displaystyle p}$ -adik
• Grup tipis

Grup abelian tidak periodik atau bebas torsi disebut campuran. Jika ${\displaystyle A}$  adalah grup abelian dan ${\displaystyle T(A)}$  adalah subgrup torsi, maka grup faktor ${\displaystyle A/T(A)}$  bebas torsi. Namun, secara umum subgrup torsi bukan merupakan penjumlahan langsung dari ${\displaystyle A}$ , jadi ${\displaystyle A}$  adalah bukan isomorfik ke ${\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}$ . Jadi teori grup campuran melibatkan lebih dari sekedar menggabungkan hasil tentang grup periodik dan bebas torsi. Grup aditif ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  bilangan bulat bebas torsi modul-${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .^:206

Invarian dan klasifikasi

Salah satu invarian dasar dari grup abelian tak hingga ${\displaystyle A}$  adalah peringkat: kardinalitas dari himpunan independen linear maksimal dari ${\displaystyle A}$ . Grup abelian dengan peringkat 0 merupakan grup periodik, sedangkan grup abelian bebas torsi peringkat 1 harus merupakan subgrup dari ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  and can be completely described. Secara lebih umum, grup abelian bebas torsi dengan peringkat terbatas ${\displaystyle r}$  adalah subgrup dari ${\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}$ . Di sisi lain, grup bilangan bulat ${\displaystyle p}$ -adik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  adalah grup abelian bebas torsi tanpa batas peringkat-${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dan grup ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$  dengan ${\displaystyle n}$  yang berbeda adalah non-isomorfik, jadi invarian bahkan tidak sepenuhnya sifat dari beberapa grup yang sudah dikenal.

Teorema klasifikasi untuk periodik yang dihasilkan tak hingga, habis dibagi, dapat dihitung, dan grup abelian bebas torsi peringkat 1 yang dijelaskan di atas semuanya diperoleh sebelum tahun 1950 dan membentuk dasar klasifikasi grup abelian tak hingga yang lebih umum. Alat teknis penting yang digunakan dalam klasifikasi grup abelian tak terbatas adalah subgrup murni dan dasar. Pengenalan berbagai invarian dari grup abelian bebas torsi telah menjadi salah satu jalan untuk kemajuan lebih lanjut. Lihat buku oleh Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith, dan David Arnold, serta prosiding konferensi tentang Teori Grup Abelian yang diterbitkan di Catatan Kuliah di Matematika untuk temuan yang lebih baru.

Grup aditif gelanggang

Grup aditif dari sebuah gelanggang adalah grup abelian, tetapi tidak semua kelompok abelian adalah grup aditif gelanggang (dengan perkalian nontrivial). Beberapa topik penting dalam bidang studi ini adalah:

• Produk Tensor
• Hasil sudut pada grup bebas torsi yang dihitung
• Selah bekerja untuk menghilangkan batasan kardinalitas.

Di antara kata sifat matematika yang diturunkan dari nama diri dari seorang matematikawan, Kata "abelian" jarang terjadi karena sering dieja dengan huruf kecil a, bukan huruf besar A, yang menunjukkan betapa konsep tersebut dalam matematika modern.

• Subgrup komutator – subgrup normal terkecil di mana hasil bagi adalah komutatif
• Abelianisasi – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
• Grup dihedral tatanan 6 – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya, grup non-abelian terkecil
• Grup abelian elementer – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya
• Dualitas pontriagin – grup yang hasil penerapan grup operasi ke dua elemen grup tidak bergantung pada urutan penulisannya