Talde Abeldar: Trukatze-legea betetzen duen taldea

${\displaystyle A\neq \emptyset }$  multzoa eta ${\displaystyle \circledast }$ eragiketa (aplikazioa edo funtzioa) talde bat eratzen dute propietate hauek betetzen dituenean:

• ${\displaystyle \circledast }$ eragiketa ${\displaystyle A}$ -ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)}$ 
• ${\displaystyle \circledast }$ Propietate trukakorra betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b\in A:a\circledast b=b\circledast a}$ 
• Existitzen da ${\displaystyle e\in A}$ non ${\displaystyle \forall a\in A:a\circledast e=a=e\circledast a}$ . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \circledast }$ eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• ${\displaystyle A}$ -ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: ${\displaystyle \forall a\in A,\exists a'\in A:a\circledast a'=e=a'\circledast a}$ 

Lau propietate hauek betetzen dituzten multzoa eta eragiketa (edo aplikazio) talde abeldar bat eratzen dute.

${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ taldea da, gainera talde abeldarra da ere trukatze propietatea betetzen delako.

Hartu ${\displaystyle A=\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}$ (zenbaki arruntak) eta ${\displaystyle \circledast =+}$ (batuketa):

${\displaystyle (i)}$ ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} :(a+b)+c=a+(b+c)}$ 

${\displaystyle (ii)}$ ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N} :a\circledast b=b\circledast a}$ 

${\displaystyle (ii)}$ Batuketarekiko elementu neutroa, ${\displaystyle 0}$  ez dago multzo barruan.

Batuketarekiko elementu neutroa ez denez existitzen multzo barruan, orduan ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ ez da taldea beraz ez da talde abeldarra.

Adibide gehiago ${\displaystyle +}$  (gehiketa) eta ${\displaystyle \cdot }$ (biderketarekin):

Talde abeldarrak: ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {R} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {C^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {C} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),+)}$ 

Ez-taldeak: ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\cdot ),(\mathbb {Q} ,\cdot ),(\mathbb {R} ,\cdot ),(\mathbb {R^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {R} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),\cdot ),(\mathbb {C} ,\cdot ),(\mathbb {C^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {C} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),\cdot )}$ Zenbaki multzo gehienak ez dira biderkaketarekiko taldeak ${\displaystyle 0}$ -ren alderantzizkorik ez delako existitzen, hau da, ${\displaystyle \nexists a^{-1}\in A:0\cdot a^{-1}=1}$ .