Պլանկի Հաստատուն

h	Միավոր
h=6,626 069 57(29)×10−34	Ջ•վ
h=4,135 667 516(91)×10−15	էՎ•վ
h=6,626 069 57(29)×10−27	էրգ•վ
ħ	Միավոր
${\displaystyle ~\hbar }$=1,054 571 726(47)×10−34	Ջ•վ
${\displaystyle ~\hbar }$=6,582 119 28(15)×10−16	էՎ•վ
${\displaystyle ~\hbar }$=1,054 571 726(47)×10−27	էրգ•վ

այն առաջին անգամ կիրառել է Մաքս Պլանկը` քվանտային մեխանիկայի հիմնադիրներից մեկը։

Սկզբում Պլանկի հաստատունը նկարագրվում էր որպես համեմատականության գործակից ֆոտոնի ${\displaystyle E}$  էներգիայի և ${\displaystyle \nu }$  հաճախության միջև։ Էներգիայի և հաճախության միջև գոյություն ունեցող այս կապը հայտնի է Պլանկի առնչություն կամ Պլանկ-Այնշտայնի հավասարում անունով`

${\displaystyle E=~h\nu }$ :

Քանի որ ալիքի ${\displaystyle \nu }$  հաճախությունը, ${\displaystyle \lambda }$  երկարությունը և ${\displaystyle c}$  լույսի արագությունը կապված են ${\displaystyle \lambda \nu =c}$  առնչությամբ, Պլանկի առնչությունը կարող է գրվել նաև որպես

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}}$ :

1923 թ. Լուի դը Բրոյլը հրապարակեց իր հայտնի առնչությունը, ըստ որի՝ Պլանկի հաստատունը կապ է հաստատում ոչ միայն ֆոտոնի, այլև ցանկացած մասնիկի իմպուլսի և ալիքի երկարության միջև, ինչը շուտով հաստատվեց փորձնականորեն։ Պլանկը հայտնաբերեց, որ ֆիզիկայում գործողությունը չի կարող պատահական արժեքներ ընդունել և բազմապատիկ է մի մեծության, որը հետագայում ստացավ «գործողության քվանտ» անվանումը. այժմ այն կոչվում է Պլանկի հաստատուն։ Այս երևույթը, որը նկատելի չէ առօրյա կյանքում գործողության քվանտի չափազանց փոքր արժեքի պատճառով, միկրոաշխարհի անկապտելի հատկանիշներից մեկն է։ Հնարավոր չէ նկարագրել որևէ երևույթ՝ առանց հաշվի առնելու գործողության քվանտացումը։ Որոշ դեպքերում, ինչպես, օրինակ, ատոմների մոնոքրոմատիկ լույսի համար, գործողության քվանտը նաև նշանակում է, որ կան որոշակի թույլատրված և արգելված էներգիական մակարդակներ։ Եթե հաճախությունը տրվում է անկյունային արագությամբ, հարմար է 2${\displaystyle \pi }$  գործակիցը ներառել Պլանկի հաստատունի մեջ։ Արդյունքում ստացված հաստատունը կոչվում է «Պլանկի կրճատված (բերված) հաստատուն» կամ «Դիրակի հաստատուն»։ Թվային արժեքով այն հավասար է Պլանկի հաստատունին՝ բաժանած ${\displaystyle 2\pi }$ -ի և նշանակվում է ${\displaystyle \hbar }$  («h գծիկով»).

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ :

${\displaystyle \omega }$  անկյունային հաճախություն ունեցող ֆոտոնի էներգիան (որտեղ ${\displaystyle \omega -2\pi \nu }$ ) կլինի

${\displaystyle E=\hbar \omega }$ :

Պլանկի հաստատունը ունի նույն չափողականությունը, ինչ և ֆիզիկայի գործողությունը, այսինքն՝ այն նույնական է անկյունային մոմենտին (էներգիա անգամ ժամանակ կամ մոմենտ անգամ հեռավորություն)։ SI համակարգում Պլանկի հաստատունը արտահայտվում է ջոուլ-վայրկյանով (Ջ•վ) կամ Ն•մ•վ-ով։

Պլանկի հաստատունի արժեքը

${\displaystyle h=6.626\ 069\ 57(29)\times 10^{-34}}$  Ջ·վ =${\displaystyle 4.135\ 667\ 516(91)\times 10^{-15}}$  էՎ·վ։

Պլանկի կրճատված հաստատունի արժեքը՝

${\displaystyle \hbar ={{h} \over {2\pi }}=1.054\ 571\ 726(47)\times 10^{-34}}$  Ջ·վ =${\displaystyle 6.582\ 119\ 28(15)\times 10^{-16}}$  էՎ·վ։

Կլոր փակագծերում նշված երկու թվանշանները ցույց են տալիս ստանդարտ անորոշությունը։ Հաստատունների և դրանց անորոշությունների արժեքները այստեղ բերված են ըստ 2010 թ. CODATA-ի հրապարակման, որը մոտ չորս տարին մեկ միջազգային հանրությանն է ներկայացնում հաստատուն մեծությունների արժեքները։

Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսն ունի ալիքային վեկտորի, էներգիան՝ հաճախության, գործողությունը՝ ալիքի փուլի ֆիզիկական իմաստ, սակայն ավանդաբար (պատմականորեն) մեխանիկական մեծությունները չափվում են այլ միավորներով (կգ•մ/վ, Ջ, Ջ•վ)` ի տարբերություն համապատասխան ալիքային մեծությունների (մ<sup>−1</sup>, վ<sup>−1</sup>): Պլանկի հաստատունը կապում է դասական և քվանտային հաշվարկման համակարգերը`

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$  (իմպուլս) ${\displaystyle (|\mathbf {p} |=2\pi \hbar /\lambda )}$ 
${\displaystyle E=\hbar \omega }$  (էներգիա)
${\displaystyle S=\hbar \phi }$  (գործողություն)։

Եթե միավորների համակարգը մշակվեր քվանտային մեխանիկայի ստեղծումից հետո և հարմարեցվեր հիմնական տեսական բանաձևերի ձևակերպմանը, Պլանկի հաստատունը հավանաբար պարզապես կհավասարեցվեր մեկի, կամ, ծայրահեղ դեպքում, ամբողջ թիվ կլիներ։ Տեսական ֆիզիկայում հաճախ բանաձևերի պարզեցման համար օգտագործվում է միավորների համակարգ, որտեղ ${\displaystyle \hbar =1}$ ։ Այստեղից՝

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {k} }$  ${\displaystyle (|\mathbf {p} |=2\pi /\lambda )}$ 
${\displaystyle ~E=\omega }$ 
${\displaystyle ~S=\phi }$ 

${\displaystyle (\hbar =1)}$ :

Պլանկի հաստատունը հանդես է գալիս որպես պարզ գնահատական՝ դասական և քվանտային ֆիզիկաների կիրառելիության սահմանները որոշելիս. այն համեմատելով դիտարկվող համակարգերը բնութագրող մեծությունների (գործողություն, իմպուլս, էներգիայի և ժամանակի արտադրյալ և այլն) հետ՝ կարելի է որոշել, թե տվյալ ֆիզիկական համակարգի հանդեպ ինչ չափով է կիրառելի դասական մեխանիկան։ Եթե ${\displaystyle ~S}$ -ն համակարգի գործողությունն է, իսկ ${\displaystyle ~M}$ -ն՝ իմպուլսի մոմենտը, ապա ${\displaystyle ~{\frac {S}{\hbar }}\gg 1}$  կամ ${\displaystyle ~{\frac {M}{\hbar }}\gg 1}$  դեպքում համակարգի վարքը մեծ ճշտությամբ նկարագրվում է դասական մեխանիկայով։ Այս գնահատականները ուղղակիորեն կապված են Հայզենբերգի անորոշությունների առնչության հետ։

Պլանկի բանաձևը ջերմային ճառագայթման համար

Պլանկի բանաձևը՝ բացարձակ սև մարմնի ճառագայթման հզորության սպեկտրային խտության արտահայտությունը ստացել է Մաքս Պլանկը ${\displaystyle u(\omega ,T)}$  հավասարաչափ ճառագայթման խտության համար։ Այս բանաձևը ստացվեց այն բանից հետո, երբ պարզ դարձավ, որ Ռելեյ-Ջինսի օրենքը բավարար ճշտությամբ նկարագրում է ճառագայթումը միայն երկար ալիքների տիրույթում։ 1900 թ. Պլանկն առաջարկեց նոր հաստատունով (հետագայում այն կոչվեց Պլանկի հաստատուն) նկարագրվող մի բանաձև, որը լավ համաձայնեցվում էր փորձարարական տվյալներին։ Ընդ որում Պլանկը համարում էր, որ այդ բանաձևը պարզապես հաջողված մաթեմատիկական հնարք է, սակայն չունի ֆիզիկական իմաստ։ Պլանկը չէր ենթադրում, որ էլեկտրամագնիսական ճառագայթումը առաքվում է էներգիայի որոշակի բաժինների (քվանտ) տեսքով, որոնց մեծությունը կապված է ճառագայթման հաճախության հետ

${\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega }$ 

արտահայտությամբ։ ${\displaystyle \hbar }$  համեմատականության գործակիցը հետագայում կոչվեց Պլանկի հաստատուն. ${\displaystyle \hbar }$  =1.054×10⁻³⁴ Ջ•վ։

Ֆոտոէֆեկտ

Ֆոտոէֆեկտը լույսի (առհասարակ էլեկտրամագնիսական ալիքների) ազդեցությամբ նյութից էլեկտրոնների ճառագայթման երևույթն է։ Կոնդենսացված նյութերում (պինդ և հեղուկ) տարբերում են արտաքին և ներքին ֆոտոէֆեկտի երևույթները։ 1905 թ. Այնշտայնը լույսի քվանտային բնույթի մասին Պլանկի հիպոթեզի օգնությամբ բացատրեց ֆոտոէֆեկտի երևույթը, ինչի համար 1921 թ. ստացավ Նոբելյան մրցանակ։ Այնշտայնի աշխատությունը նոր կարևոր հիպոթեզ էր առաջ քաշում. եթե ըստ Պլանկի, լույսը ճառագայթվում էր միայն քվանտացված բաժիններով, ապա Այնշտայնը ենթադրեց, որ լույսը գոյություն ունի միայն քվանտացված բաժիններով։ Լույսը ներկայացնելով մասնիկների՝ ֆոտոնների տեսքով, էներգիայի պահպանման օրենքից կարելի է ստանալ Այնշտայնի բանաձևը ֆոտոէֆեկտի համար.

${\displaystyle \hbar \omega =A_{out}+{\frac {mv^{2}}{2}}}$ ,

որտեղ ${\displaystyle A_{out}}$ -ն ելքի աշխատանքն է (էլեկտրոնը նյութից հեռացնելու համար անհրաժեշտ նվազագույն էներգիան), ${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}$ -ն՝ դուրս թռչող էլեկտրոնի կինետիկ էներգիան, ${\displaystyle \omega }$ -ն՝ ${\displaystyle \hbar \omega }$  էներգիայով ընկնող ֆոտոնի հաճախությունը, ${\displaystyle \hbar }$ -ը՝ Պլանկի հաստատունը։ Այս բանաձևից հետևում է ֆոտոէֆեկտի կարմիր սահմանի գոյությունը. Դա այն նվազագույն հաճախությունն է, որից ցածրի դեպքում ֆոտոնի էներգիան արդեն բավարար չէ մարմնից էլեկտրոն «պոկելու» համար։ Բանաձևի էությունն այն է, որ ֆոտոնի էներգիան ծախսվում է նյութի ատոմը իոնացնելու և էլեկտրոն «պոկելու» համար անհրաժեշտ աշխատանքի վրա, իսկ մնացյալ էներգիան փոխակերպվում է էլեկտրոնի կինետիկ էներգիայի։

Պլանկի հաստատունը տարբեր թվային արժեքներ ունի տարբեր միավորների համակարգերում։ SI համակարգում այն ֆիզիկայի ամենափոքր հաստատուններից մեկն է։ Դա պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ մարդու՝ իրեն հարմարեցրած սանդղակում, որտեղ էներգիան սովորաբար կիլոջոուլների կարգի է, իսկ ժամանակը՝ վայրկյանների կամ րոպեների, գործողության քվանտը՝ Պլանկի հաստատունը, չնչին մեծություն է դառնում։ Սա նաև միաժամանակ արտացոլում է այն փաստը, որ առօրյա օբյեկտները կամ համակարգերը բաղկացած են “մեծ” թվով մասնիկներից։ Օրինակ՝ 555 նանոմետր ալիքի երկարությամբ կանաչ լույսի (մարդու աչքը առավել ընկալունակ է այս երկարության հանդեպ) հաճախությունը 540 ՏՀց է (540×10¹² Հց)։ Յուրաքանչյուր ֆոտոնի E էներգիան այս դեպքում հավասար է hν = 3.58×10⁻¹⁹ ջ։ Առօրյա կյանքի չափանիշներով սա շատ փոքր էներգիա է, սակայն առօրյա կյանքում մենք գործ չենք ունենում ոչ առանձին ֆոտոնների, ոչ ատոմների կամ մոլեկուլների հետ և այս դեպքում ամենահարմար մեծությունը մոլն է. մեկ մոլ ֆոտոնների էներգիան կարելի է հաշվել՝ բազմապատկելով ֆոտոնի էներգիան Ավոգադրոյի հաստատունով` N_A ≈6.022×10²³ մոլ⁻¹: Պլանկի հաստատունը առնչվում է լույսի և մատերիայի քվանտացմանը, ուստի դասվում է ատոմական սանդղակի հաստատունների շարքին։ Ատոմական սանդղակին հարմարեցված միավորների համակարգում, որտեղ էներգիայի չափման ընդունված միավոր է էլեկտրոն-վոլտը, իսկ հաճախությունը չափվում է պետահերցերով (10¹⁵), Պլանկի հաստատունը կնկարագրվի 1-ի կարգի թվով։

Անորոշությունների սկզբունքը

Պլանկի հաստատունը կարևոր դեր ունի նաև Վերներ Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքում, ըստ որի` մասնիկի կոորդինատի և իմպուլսի ${\displaystyle \Delta x}$  և${\displaystyle \Delta p}$  անորոշությունները կապված են

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ 

առնչությամբ, որտեղ անորոշությունը նշանակում է չափվող արժեքների ստանդարտ շեղումը սպասվող արժեքներից։ Այս առնչությանը բավարարում են նաև չափման ենթակա ֆիզիկական մեծությունների այլ զույգեր։ Այստեղ անորոշությունը բխում է ոչ թե չափող սարքերի անճշտությունից, այլ՝ քվանտային չափումների և քվանտային մասնիկների բնույթից։

Էլեկտրոնի հանգստի զանգված

Ռիդբերգի հաստատունը` ${\displaystyle R_{\infty }}$ -ը որոշվում է էլեկտրոնի ${\displaystyle m_{e}}$  զանգվածով և այլ ֆիզիկական մեծություններով`

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\rm {e}}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c_{0}}}={\frac {m_{\rm {e}}c_{0}\alpha ^{2}}{2h}}}$ :

Ռիդբերգի հաստատունը մեծ ճշտությամբ կարելի է որոշել նաև ջրածնի ատոմական սպեկտրից, մինչդեռ գոյություն չունի էլեկտրոնի հանգստի զանգվածը չափելու ուղղակի եղանակ։ Ուստի ${\displaystyle m_{e}}$ -ն հաշվելու համարժեք տարբերակ է

${\displaystyle m_{\rm {e}}={\frac {2R_{\infty }h}{c_{0}\alpha ^{2}}}}$ -ը,

որտեղ ${\displaystyle c_{0}}$ -ն լույսի արագությունն է, ${\displaystyle \alpha }$ -ն՝ նուրբ կառուցվածքի հաստատունը։ Լույսի արագությունը ՄՄ (SI) համակարգում ունի ճշգրտորեն որոշված արժեք, իսկ նուրբ կառուցվածքի հաստատունը կարելի է որոշել ավել մեծ ճշտությամբ, քան Պլանկի հաստատունը. Էլեկտրոնի հանգստի զանգվածի արժեքի անճշտությունը պայմանավորված է Պլանկի հաստատունի արժեքի անճշտությամբ (${\displaystyle r^{2}}$ > 0.999)։

Ավոգադրոյի հաստատուն

${\displaystyle N_{A}}$ Ավոգադրոյի հաստատունը որոշվում է որպես մեկ մոլ էլեկտրոնի զանգվածի հարաբերությունը մեկ էլեկտրոնի զանգվածին։ Մեկ մոլ էլեկտրոնի զանգվածը էլեկտրոնի ${\displaystyle A_{r}(e)}$  հարաբերական ատոմային զանգվածն է (որը կարելի է չափել «Փեննինգի թակարդի» (${\displaystyle u_{r}=4.2}$ ×${\displaystyle 10^{-10}}$ ) միջոցով)` բազմապատկած ${\displaystyle M_{u}}$  մոլային զանգվածի հաստատունով (${\displaystyle M_{u}=0.001}$  կգ/մոլ)`

${\displaystyle N_{\rm {A}}={\frac {M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})}{m_{\rm {e}}}}={\frac {M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})c_{0}\alpha ^{2}}{2R_{\infty }h}}}$ :

Ավոգադրոյի հաստատունի կախումը Պլանկի հաստատունից (${\displaystyle r^{2}>0.999}$ ) ներառում է նաև հարակից ֆիզիկական հաստատունները, ինչպես օրինակ ատոմական զանգվածի հաստատունը։ Պլանկի հաստատունի արժեքի անճշտությունը սահմանափակում է մեր իմացությունը ատոմների և ներատոմային մասնիկների զանգվածների մասին, երբ արտահայտվում է ՄՄՀ միավորներով։ Այդ մասնիկների զանգվածները հնարավոր է չափել ավելի ճշգրիտ զանգվածի ատոմական միավորներով, սակայն հնարավոր չէ ճշգրտորեն արտահայտել կիլոգրամներով։

Տարրական լիցք

Սկզբնապես Զոմերֆելդը α նուրբ կառուցվածքի հաստատունը սահմանել էր որպես

${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {e^{2}}{\hbar c_{0}\ 4\pi \epsilon _{0}}}\ =\ {\frac {e^{2}c_{0}\mu _{0}}{2h}}}$ ,

որտեղ ${\displaystyle e}$ -ն տարրական լիցքն է, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ -ն՝ էլեկտրական հաստատունը (վակուումի դիէլեկտրիկական թափանցելիությունը), ${\displaystyle \mu _{0}}$ -ն՝մագնիսական հաստատունը (վակուումի էլեկտրամագնիսական թափանցելիությունը)։ Վերջին երկուսը ՄՄ համակարգում ունեն ֆիքսված արժեքներ։ ${\displaystyle \alpha \ }$ -ն հնարավոր է նաև չափել փորձնականորեն՝ չափելով [[${\displaystyle g}$  գործոն|էլեկտրոնի սպինի ${\displaystyle g}$  գործոնը]] և համեմատելով ստացված արդյունքը քվանտային էլեկտրադինամիկայով կանխատեսված արժեքի հետ։ Ներկայումս տարրական լիցքի առավել ճշգրիտ արժեքն ստանալու համար այն սահմանում են ${\displaystyle \alpha \ }$  և ${\displaystyle hg}$  մեծությունների օգնությամբ.

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2\alpha h}{\mu _{0}c_{0}}}}}$ :

Բորի մագնետոն։ Միջուկային մագնետոն

Բորի մագնետոնը և միջուկային մագնետոնը մեծություններ են, որոնք կիրառվում են համապատասխանաբար էլեկտրոնի և ատոմի միջուկի մագնիսական հատկությունները նկարագրելու համար։ Բորի մագնետոնը այն մագնիսական մոմենտն է, որը ստացվում է դասական էլեկտրադինամիկայի տեսանկյունից էլեկտրոնը որպես պտտվող լիցք դիտարկելիս։ Այն որոշվում է Պլանկի կրճատված հաստատունի, տարրական լիցքի և էլեկտրոնի զանգվածի օգնությամբ, որոնք բոլորն էլ կախված են Պլանկի հաստատունից.

${\displaystyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m_{\rm {e}}}}={\sqrt {\frac {c_{0}\alpha ^{5}h}{32\pi ^{2}\mu _{0}R_{\infty }^{2}}}}}$ :

Միջուկային մագնետոնը որոշվում է համանման ձևով, հաշվի առնելով սակայն, որ պրոտոնը էլեկտրոնից շատ ավելի զանգվածեղ է։ Էլեկտրոնի հարաբերական ատոմային զանգվածի հարաբերությունը պրոտոնի հարաբերական ատոմային զանգվածին փորձնականորեն կարելի է որոշել մեծ ճշգրտությամբ։

Ֆոտոէֆեկտի օրենքի կիրառումը

Պլանկի հաստատունի չափման այս եղանակի դեպքում օգտագործվում է Այնշտայնի բանաձևը ֆոտոէֆեկտի համար՝

${\displaystyle ~K_{max}=h\nu -A,}$ 

Որտեղ ${\displaystyle ~K_{max}}$ -ն կատոդից թռչող էլեկտրոնների առավելագույն կինետիկ էներգիան է, ${\displaystyle ~\nu }$ -ն՝ ընկնող լույսի հաճախությունը, ${\displaystyle ~A}$ -ն՝ էլեկտրոնի ելքի աշխատանքը։ Չափումն իրականացվում է հետևյալ կերպ. Սկզբում ֆոտոէլեմենտի կատոդը առաքում է ${\displaystyle ~\nu _{1}}$  հաճախությամբ մոնոքրոմատիկ լույս, ընդ որում ֆոտոէլեմենտին տալիս են փակող լարում, այնպես, որ ֆոտոէլեմենտի միջով այլևս հոսանք չանցնի։ Ընդ որում տեղի ունի հետևյալ առնչությունը, որն անմիջականորեն բխում է Այնշտայնի օրենքից.

${\displaystyle ~h\nu _{1}=A+eU_{1},}$ 

որտեղ ${\displaystyle ~e}$ -ն՝ էլեկտրոնի լիցքն է։

Այնուհետև միևնույն ֆոտոէլեմենտը լուսավորում են ${\displaystyle ~\nu _{2}}$  հաճախությամբ մոնոքրոմատիկ լույսով և նույնպես փակում ${\displaystyle ~U_{2}}$  լարման օգնությամբ.

${\displaystyle ~h\nu _{2}=A+eU_{2}:}$ 

Անդամ առ անդամ առաջին արտահայտությունից հանելով երկրորդը, կստանանք՝

${\displaystyle ~h(\nu _{1}-\nu _{2})=e(U_{1}-U_{2}),}$ 

որտեղից հետևում է՝

${\displaystyle ~h={\frac {e(U_{1}-U_{2})}{(\nu _{1}-\nu _{2})}}:}$ 

Արգելակային ռենտգենյան ճառագայթման սպեկտրի վերլուծությունը

Այս եղանակը համարվում է ամենաճշգրիտը։ Օգտագործվում է այն փաստը, որ արգելակային ռենտգենյան ճառագայթման հաճախային սպեկտրն ունի ճշգրիտ վերին սահման, որը կոչվում է մանուշակագույն սահման։ Դրա գոյությունը բխում է էլեկտրամագնիսական ճառագայթման քվանտային հատկություններից և էներգիայի պահպանման օրենքից։ Իրոք.

${\displaystyle ~h{\frac {c}{\lambda }}=eU,}$ 

որտեղ ${\displaystyle ~c}$ -ն լույսի արագությունն է,

${\displaystyle ~\lambda }$ -ն` ռենտգենյան ճառագայթման ալիքի երկարությունը,
${\displaystyle ~e}$ -ը` էլեկտրոնի լիցքը,
${\displaystyle ~U}$ -ը` ռենտգենյան խողովակի էլեկտրոդների արագացնող լարումը։

Այդ դեպքում Պլանկի հաստատունը հավասար կլինի

${\displaystyle ~h={\frac {{\lambda }{Ue}}{c}}:}$