Թվաբանական Պրոգրեսիա

${\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }$,

այսինքն այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամը (բացի առաջինից) ստացվում է նախորդ անդամին միևնույն ${\displaystyle d}$ թիվը գումարելով՝

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }$

Ցանկացած (n-րդ) անդամը որոշվում է ընդհանուր անդամի բանաձևով՝

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Թվաբանական պրոգրեսիան մոնոտոն է, այսինքն աճում է ${\displaystyle d>0}$ դեպքում և նվազում ${\displaystyle d<0}$ դեպքում։

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը՝

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$, որտեղ ${\displaystyle a_{1}}$-ն առաջին անդամն է, իսկ ${\displaystyle d}$-ն՝ նրա տարբերությունը։

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին ${\displaystyle n}$  անդամների գումարը ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$  կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$ , որտեղ ${\displaystyle a_{1}}$ -ը — պրոգրեսիայի առաջին անդամն է, ${\displaystyle a_{n}}$ -ը — ${\displaystyle n}$ -րդ անդամը, ${\displaystyle n}$ -ը — գումարման ենթակա անդամների քանակը.

${\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n}$ , որտեղ ${\displaystyle a_{1}}$ -ը — առաջին անդամն է, ${\displaystyle d}$ -ն — պրոգրեսիայի տարբերությունը, ${\displaystyle n}$  — գումարման ենթակա անդամների քանակը.

Ապացույց.

Գրառենք տվյալ գումարը երկու եղանակով։ ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}$ 

${\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}}$  - նույն գումարը հակառակ կարգով.

Այժմ գումարենք երկու հավասարություններն իրար (աջ մասում նույն ուղղահայացի տակ գտնվող գումարելիները հաջորդաբար իրար գումարելով)՝

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$ 

Ստացված բոլոր գումարելիներն իրար հավասար են՝ ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}$ 

Օգտվելով ընդհանուր անդամի բանաձևից կստանանք՝

${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}$ 

որտեղ յուրաքանչյուր անդամ անկախ հերթականությունից հավասար է ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ ։ Մասնավորապես, ${\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}$ ։

Քանի որ ընդհանուր անդամների քանակն է ${\displaystyle n}$ , ուրեմն

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$ 

• Երկրաչափական պրոգրեսիա
• Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)

• Թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիա Արխիվացված 2012-09-07 Wayback Machine
• Մաթեմատիկա. Գագիկ Աղեկյանի անձնական կայք

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 9, էջ 433)։