Շարժման Քանակ Իմպուլս

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Իմպուլս (այլ կիրառումներ)

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$:

Մեկ մասնիկի դեպքը

Ավանդաբար մասնիկի իմպուլսը նշանակվում է ${\displaystyle p}$  տառով։ Այն մարմնի զանգվածի և արագության արտադրյալն է՝

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ :

Չափման միավորը զանգվածի և արագության միավորների արտադրյալն է։ ՄՀ համակարգում՝ կգ·մ/վ։ Լինելով վեկտորական մեծություն՝ իմպուլսն ունի մեծություն և ուղղություն։

Բազմաթիվ մասնիկների դեպքը

Համակարգի իմպուլսը այդ համակարգը կազմող բոլոր մասնիկների իմպուլսների գումարն է։ Եթե երկու մասնիկներ ունեն ${\displaystyle m_{1}}$  և ${\displaystyle m_{2}}$  զանգվածն ու ${\displaystyle v_{1}}$  և ${\displaystyle v_{2}}$  արագությունը, ապա արդյունարար իմպուլսը՝

${\displaystyle p=p_{1}+p_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}$ :

Համանման ձևով՝ երկուսից ավելի (${\displaystyle i}$ ) մասնիկների դեպքում՝

${\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}{v}_{i}:}$ 

Իմպուլսի և ուժի կապը

Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի, մասնիկի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է նրա վրա ազդող ${\displaystyle F}$  ուժին՝

${\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}:}$ 

Եթե զանգվածը հաստատուն է, ապա

${\displaystyle F=m{\frac {dv}{dt}}=ma,}$ 

այնպես որ ուժը հավասար է զանգվածի և արագացման արտադրյալին։

Նյուտոնի օրենքներից բխում է, որ փակ համակարգի արդյունարար իմպուլսը հաստատուն մեծություն է։ Ենթադրենք ունենք միմյանց հետ փոխազդող երկու մասնիկ։ Ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի, դրանց վրա ազդող ուժերը հավասար են և հակառակ են ուղղված։ Ըստ առաջին օրենքի, ${\displaystyle F_{1}=dp_{1}/dt}$  և ${\displaystyle F_{2}=dp_{2}/dt}$  : Այդտեղից

${\displaystyle {\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},}$ 

կամ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0:}$ 

Եթե մասնիկների արագությունները նշանակենք ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$  փոխազդեցությունից առաջ և ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ՝ հետո, ապա

${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}:}$ 

Իմպուլսի պահպանման օրենքը կախված չէ փոխազդեցության ուժի բնույթից։

Եռաչափ դեպքում իմպուլը և արագությունը տրվում են վեկտորներով։ ${\displaystyle x,y,z}$  առանցքներով կոորդինատական համակարգում արագության բաղադրիչները ${\displaystyle x,y,z}$  ուղղություններով համապատասխանաբար ${\displaystyle v_{x},v_{y}}$  և ${\displaystyle v_{z}}$  են։ Նշանակենք արագության վեկտորը

${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$ 

իսկ իմպուլսի վեկտորը՝

${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right):}$ 

Այդ դեպքում իմպուլսի և արագության կապը կարելի է ստանալ՝ վերևի արտահայտության ${\displaystyle v}$  սկալյար մեծությունը փոխարինելով ${\displaystyle {\vec {v}}}$  վեկտորով՝

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ 

Ցանկացած վեկտորական հավասարում կարելի է ներկայացնել սկալյար հավասարումների համակարգի տեսքով՝

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}:\end{aligned}}}$ 

Ռելյատիվիստական մեխանիկա

Ռելյատիվիստական մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$ 

որտեղ ${\displaystyle m_{0}}$ -ն համակարգի ինվարիանտ զանգվածն է, ${\displaystyle \gamma }$ -ն՝ Լորենցի ֆակտորը.

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\,,}$ 

${\displaystyle v}$ -ն մասնիկի արագությունն է, ${\displaystyle c}$ -ն՝ լույսի արագությունը։ Արագությունը իմպուլսով արտահայտվում է

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {c^{2}\mathbf {p} }{\sqrt {(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}}}}={\frac {c^{2}\mathbf {p} }{E}}\,,}$ 

բանաձևով, որտեղ ${\displaystyle \scriptstyle p={\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}$ -ն իմպուլսի մոդուլն է։ Դասական մեխանիկայի շրջանակներում ռելյատիվիստական իմպուլսը գրեթե հավասար է նյուտոնյան իմպուլսին. փոքր արագությունների դեպքում ${\displaystyle ym_{0}v\approx m_{0}v}$ : Մարմնի ${\displaystyle E}$  լրիվ էներգիան ${\displaystyle p}$  ռելյատիվիստական իմպուլսի հետ կապված է

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,}$ 

առնչությամբ, որտեղ ${\displaystyle p}$ -ով նշանակված է ${\displaystyle p}$ -ի մեծությունը (մոդուլը)։ Իմպուլսի և էներգիայի ռելյատիվիստական կապը տեղի ունի նաև զանգված չունեցող մասնիկների համար, ինչպիսին ֆոտոնն է։ Տեղադրելով ${\displaystyle m_{0}=0}$ , կստանանք, որ

${\displaystyle E=pc\,:}$ 

Ե՛վ զանգված ունեցող, և՛ զանգված չունեցող մասնիկների համար ռելյատիվիստական իմպուլսը կապված է ${\displaystyle \lambda }$  դը Բրոյլի ալիքի երկարության հետ

${\displaystyle p=\hbar /\lambda \,}$ 

առնչությամբ, որտեղ ${\displaystyle \hbar }$ -ը Պլանկի հաստատունն է։

Ընդհանրացված իմպուլսը տեսական մեխանիկայում

Տեսական մեխանիկայում համակարգի լագրանժյանի ածանցյալը ըստ ընդհանրացված արագության կոչվում է ընդհանրացված իմպուլս

${\displaystyle p_{i}={{\partial {\mathcal {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}:}$ 

Ազատ մասնիկի համար Լագրանժի ֆունկցիան ունի ${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$  տեսքը, որտեղից ստացվում են վերը բերված հավասարումները։

Փակ համակարգի լագրանժյանի կախված չլինելը համակարգի դիրքից բխում է տարածության համասեռությունից. լավ մեկուսացված համակարգի վարքը կախված չէ տարածության մեջ նրա զբաղեցրած դիրքից։ Ըստ Նյոտերի թեորեմի, այդ համասեռությունից բխում է որոշակի ֆիզիկական մեծության պահպանումը։ Հենց այդ մեծությունն էլ կոչվում է իմպուլս։

Քառաչափ ձևակերպումը

Ռելյատիվիստական քառաչափ իմպուլսը ինվարիանտ է Լորենցի ձևափոխությունների նկատմամբ։ Սահմանվում է որպես

${\displaystyle \mathbf {P} =(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})\,,}$ 

որտեղ ${\displaystyle E=\gamma m_{0}c^{2}}$ -ն համակարգի ամբողջ ռելյատիվիստական էներգիան է, ${\displaystyle p_{x},p_{y},p_{z}}$ -ը համապատասխանաբար ռելյատիվիստական իմպուլսի ${\displaystyle x,y,z}$  բաղադրիչներն են։

Քառաչափ իմպուլսի ${\displaystyle |P|}$  մոդուլը հավասար է ${\displaystyle m_{0}c}$ , ուստի

${\displaystyle ||\mathbf {P} ||^{2}=(E/c)^{2}-p^{2}=(m_{0}c)^{2}\,}$ 

ինչը ինվարիանտ է բոլոր հաշվարկման համակարգերում։ Փակ համակարգում պահպանվում է ամբողջ քառաչափ իմպուլսը, ինչի հետևանքով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները կարելի է ներառել մեկ հավասարման մեջ։ Օրինակ, ${\displaystyle m_{1}}$  և ${\displaystyle m_{2}}$  հանգստի զանգվածներով և ${\displaystyle v_{1}}$  և ${\displaystyle v_{2}}$  սկզբնական արագություններով երկու մասնիկների բախման դեպքում ${\displaystyle v_{3}}$  և ${\displaystyle v_{4}}$  վերջնական արագությունները կարելի է գտնել քառաչափ իմպուլսի պահպանման օրենքից՝

${\displaystyle \mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}=\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{4}\,,}$ 

որտեղ

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}=m_{i}\gamma _{i}(c,\mathbf {v} _{i}):}$ 

Առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը մնում է անփոփոխ (${\displaystyle m_{1}=m_{3}}$  և ${\displaystyle m_{2}=m_{4}}$ )։ Ոչ առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը աճում է՝ պայմանավորված ջերմային էներգիայի աճով։ Քառաչափ իմպուլսի պահպանումը կարելի է մեկնաբանել որպես տարածություն-ժամանակի համասեռության արդյունք։

Իմպուլսը քվանտային մեխանիկայում

Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես ալիքային ֆունկցիայի օպերատոր։ Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքը տալիս է ճշտության սահմանը, որով կարելի է իմանալ համակարգի իմպուլսը և կոորդինատը։ Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը և կոորդինատը համալուծ մեծություններ են։

Մեկ մասնիկի համար իմպուլսի օպերատորը կորդինատական պատկերացումով կարելի է գրել որպես

${\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}$ 

որտեղ ${\displaystyle \nabla }$ -ն նաբլա-օպերատորն է, ${\displaystyle \hbar }$ -ը՝ Պլանկի բերված հաստատունը, ${\displaystyle i}$ -ն՝ կեղծ միավորը։ Այլ պատկերացումներով իմպուլսի օպերատորը այլ տեսք ունի։ Օրինակ, իմպուլսային պատկերացումով այն ներկայացվում է որպես

${\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}$ 

որտեղ ${\displaystyle p}$  օպերատորը, գործելով ${\displaystyle \Psi (p)}$  ալիքային ֆունկցիայի վրա, բերում է նրան, որ վերջինս բազմապատկվում է ${\displaystyle p}$ -ով։ Համանման ձևով կորդինատի օպերատորի ազդեցությունը ${\displaystyle \Psi (x)}$  ալիքային ֆունկցիայի վրա կհանգեցներ վերջինիս բազմապատկմանը ${\displaystyle x}$ -ով։

Էլեկտրամագնիսական դաշտի իմպուլսը

Մասնիկի լրիվ իմպուլսը էլեկտրամագնիսական դաշտում հավասար է

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} }$ 

որտեղ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ -ը էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական պոտենցիալն է։

• Ուժի իմպուլս