תנע: גודל פיזיקלי

תנע של גוף או של קבוצת גופים, מבטא את כיוון ו"כמות" התנועה של אותו גוף או אותה קבוצת גופים במרחב. את מושג התנע הגה לראשונה אייזק ניוטון. ככל שיש לגוף מהירות רבה יותר או מסה גדולה יותר, כך התנע שלו גדול יותר.

התנע נמדד ביחידות מסה כפול מהירות. במכניקה קלאסית, שאינה יחסותית או קוונטית, התנע של עצם שווה למהירותו כפול מסתו. בפיזיקה מודרנית התנע מקבל צורות מורכבות ושונות: בתורת היחסות הפרטית, בתורת הקוונטים ובתורת השדות הקוונטיים אשר מאחדת את שתיהן.

התנע משתמר בכל תורה פיזיקלית במערכת שלא פועלים עליה כוחות חיצוניים. על פי משפט נתר, שימור התנע נובע מן הסימטריה של המרחב להזזות.

"כמות התנועה" או "תנופה" (באנגלית: "מומנטום") או בשפה הרשמית "תנע", הוא מדד לכמה קשה יהיה להביא גוף למהירות מסוימת או כמה קשה יהיה לבלום אותה. 'כמות' התנועה תלויה בין השאר במהירות הגוף, למשל קל יותר להביא לעצירה מכונית שנוסעת במהירות 10 קמ"ש מאשר להביא לעצירה את אותה המכונית כאשר היא נוסעת במהירות 100 קמ"ש. 'כמות' התנועה תלויה גם במסת הגוף. לדוגמה, אם פיל וזבוב ינועו שניהם במהירות שגודלה שווה, איש לא יטעה לחשוב שניתן לעצרם באותה הקלות. מתוך דוגמאות אלה עולה ש'כמות התנועה' נקבעת על-ידי מסת הגוף ועל-ידי מהירותו. ואם לנסח זאת בשפה הרשמית: התנע מוגדר כמכפלת המסה והמהירות. אם למשל המהירות גדלה פי שניים, גם התנע יגדל פי שניים; אם המסה קטנה פי חמישה, גם התנע קטן פי חמישה. למעשה, שני גופים השונים גם במסתם וגם במהירותם יכולים להיות שווים בתנע שלהם: לקליע קל (20 גרם) הנורה מרובה במהירות גבוהה (1000 מטר לשנייה) יש אותו תנע (או מידת רתע) כמו לכדור ברזל גדול (20 ק"ג) הנע במהירות נמוכה (1 מטר לשנייה). לשניהם תנע השווה ל-20 'קילוגרם כפול מטר לשנייה' (אין לתנע יחידות מידה מיוחדות, בדומה למהירות): יחידותיה מורכבות מיחידות של מרחק ושל זמן).

 

ניוטון הגדיר את התנע כוקטור השווה למכפלת המסה במהירות, או בסימון מתמטי:

$${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$$

 

${\displaystyle m}$ 

${\displaystyle {\vec {v}}}$ 

הגדרה זו שימושית מפני שמחוקי התנועה של ניוטון ניתן להסיק שבמערכת אשר אינה נתונה להשפעות חיצוניות (הנקראת מערכת סגורה), התנע הכולל של המערכת משתמר. חוק זה ידוע בשם חוק שימור התנע. הייחוד של חוק שימור זה, הוא שהתנע משתמר גם במערכת שבה מתרחשות התנגשויות.

מתקף

  ערך מורחב – מתקף

מתקף (Impulse) מסומן באות J ומוגדר כמכפלת כוח בפרק הזמן שבו הוא פועל. מסמנים:

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {F}}\cdot \Delta t}$ 

על ידי הפעלת מתקף על גוף ניתן לשנות את התנע שלו, והשינוי בתנע שווה למתקף, כלומר:

${\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\vec {F}}\cdot \Delta t}$ 

ובשפה פשוטה, במקרה בו פועל מתקף על גוף (הפעלת כוח חיצוני על גוף בפרק זמן מסוים) התנע של הגוף לא יישמר.

חוק שימור התנע

 

במערכת סגורה (מערכת בה לא פועלים כוחות חיצוניים) משתמר התנע הכולל:

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\cdot {\vec {v}}_{i}(t)=const}$ 

הוכחת חוק שימור התנע על ידי חוקי ניוטון

החוק השני של ניוטון אומר ש- ${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=F}$ .
לפי החוק השלישי של ניוטון, אם מסה ${\displaystyle m_{1}}$  מפעילה כוח ${\displaystyle F}$  על ${\displaystyle m_{2}}$  אז מסה ${\displaystyle m_{2}}$  תפעיל כוח ${\displaystyle -F}$  על ${\displaystyle m_{1}}$ .
אם נסכום את כל הכוחות במערכת סגורה על ידי סכום הכוחות שמתקבל מכל אינטראקציה בין 2 מסות נקבל 0, שהרי בכל אינטראקציה בין 2 מסות סכום הכוחות ${\displaystyle F}$  ו- ${\displaystyle -F}$  הוא 0 ומכאן ש- ${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=0}$  ולכן ${\displaystyle p}$  משתמר.
באופן יותר כללי, במערכת עם כוחות חיצוניים, כל הכוחות הפנימיים (הכוחות בין המסות במערכת) יבטלו זה את זה בסכימה ונקבל ש- ${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=\sum F_{ext}}$  כאשר ${\displaystyle F_{ext}}$  הוא כוח אקסטרני (חיצוני), כלומר השינוי בתנע הוא סך הכוחות החיצוניים על המערכת (ומכאן שבמערכת בלי כוחות חיצוניים, התנע לא ישתנה).

שימור התנע בהתנגשות שני גופים

במקרה הפרטי שבו מתנגשים שני גופים במערכת סגורה, כלומר שלא פועלים עליהם כוחות חיצוניים בזמן הפגיעה, אז

${\displaystyle \ m_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\ m_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}=\ m_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}+\ m_{2}\cdot {\vec {u}}_{2}}$ 

• m היא המסה של הגוף
• V היא המהירות לפני ההתנגשות
• U היא המהירות אחרי ההתנגשות

למשל במצב של התנגשות גופים - גוף א' יפעיל מתקף על גוף ב' ובו זמנית גוף ב' יפעיל מתקף על גוף א'. כתוצאה מכך התנע של כל גוף ישתנה אך התנע הכולל במערכת יישמר.

התנע הקווי הכללי של המערכת הוא הסכום הווקטורי של שינוי התנע הקווי של שני הגופים

${\displaystyle \Delta {\vec {p}}=\Delta {\vec {p}}_{1}+\Delta {\vec {p}}_{2}}$ 

מכיוון שתנע הוא גודל וקטורי ניתן לחלק את הווקטור לרכיבי x ו- y וגם לאורך צירים אלה התנע משתמר.

${\displaystyle \ m_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}{\text{x}}+\ m_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}{\text{x}}=\ m_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}{\text{x}}+\ m_{2}\cdot {\vec {u}}_{2}{\text{x}}}$ 

${\displaystyle \ m_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}{y}+\ m_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}{y}=\ m_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}{y}+\ m_{2}\cdot {\vec {u}}_{2}{y}}$ 

תנע קנוני

במכניקה אנליטית תנע קנוני (תנע מוכלל) הוא הכללה של התנע ומהווה יותר גודל תאורטי מאשר דבר שמודדים בפועל. במקרים רבים התנע הקנוני מזדהה עם התנע הקווי הרגיל או התנע הזוויתי, אך לא תמיד.

ההגדרה הפורמלית של התנע הקנוני היא זו:

יהי ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}=E_{k}({\dot {x}})-E_{p}(x)=T({\dot {x}})-V(x)}$  הלגראנז'יאן של מערכת פיזיקלית מסוימת, אזי התנע הקנוני של קואורדינטה x הוא

${\displaystyle \ p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}}$ 

על פי משפט נתר, שימור התנע מביע את האינווריאנטיות של מערכת תחת פעולת הזזה, כאשר על המערכת לא פועלים כוחות חיצוניים.

לפי משוואות מקסוול וכוח לורנץ, גם שדה חשמלי ושדה מגנטי יכולים לשאת תנע. בין היתר, עבור גל אלקטרומגנטי מישורי בוואקום בעל אנרגיה ${\displaystyle E}$ , התנע הנישא על ידיו הוא ${\displaystyle p={\frac {E}{c}}}$  כאשר ${\displaystyle c}$  מהירות האור בריק ובאופן כללי, זרם התנע פרופורציונלי לוקטור פוינטינג.

בתורת היחסות

בתורת היחסות התנע שומר על הגדרתו הקלאסית, מסה כפול המהירות, אך המסה הנידונה היא היחסותית ולא מסת המנוחה:

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}\,}$ 

כאשר ${\displaystyle m_{0}}$  היא מסת המנוחה, ו-${\displaystyle \gamma }$  היא מקדם לורנץ.

התנע והאנרגיה יוצרים יחד 4-וקטור, שנשמר במערכת סגורה. עבור גוף יחיד, 4-תנע הוא

${\displaystyle {\vec {P}}=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})\,}$ 

כאשר c היא מהירות האור. גודל הווקטור שווה למסת המנוחה של הגוף, שהיא קבועה:

${\displaystyle ||{\vec {P}}||^{2}=(E/c)^{2}-p^{2}=(m_{0}c)^{2}\,.}$ 

במכניקת הקוונטים

  ערך מורחב – אופרטור התנע

במכניקת הקוונטים התנע הוא אופרטור וקטורי, שיכול לפעול על מצבים קוונטים ופונקציות גל ולשנות אותן. בהצגת המקום (בבסיס ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ) אופרטור התנע נראה כך:

${\displaystyle \ {\vec {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}}$ 

התנע הוא אופרטור הרמיטי ולכן מהווה גודל מדיד (Observable). בנוסף מהיותו אופרטור שפועל על המרחב, הוא אינו חילופי עם מספר אופרטורים אחרים, למשל עם אופרטור המקום ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , כפי שניתן לראות באופן ישיר בהצגה בבסיס המקום לעיל: ${\displaystyle p_{x}xf(x)}$  אינו שווה ל- ${\displaystyle xp_{x}f(x)}$ , מכיוון שבמקרה הראשון הנגזרת פועלת על המכפלה של הפונקציה והמיקום, ובמקרה השני רק על הפונקציה.

עקרון אי הוודאות קובע שמכפלת אי הוודאויות במיקום של חלקיק ובתנע שלו חייבת להיות גדולה מערך קטן אך סופי. כך שאם ידוע התנע של חלקיק במדויק אי אפשר לדעת שום דבר על מיקומו, ולהפך. כמו כן, ההמילטוניאן של מערכת מובע בדרך כלל בעזרת הקואורדינטות והתנעים של החלקיקים במערכת.

בתורת השדות הקוונטית

בתורת השדות הקוונטית התנע משלב את תכונותיו מתורת היחסות ומתורת הקוונטים. זהו אופרטור שהוא 4-וקטור, אשר משמש כבסיס לחישוב דיאגרמת פיינמן. את הדיאגרמה מחשבים בהנחה שהתנע נשמר בכל צומת, ובסך הקווים החיצוניים, הנחה שמקבעת את כל התנעים בדיאגרמה מלבד בלולאה. לכן בלולאה התנע אינו מוגבל ובחישוב מסכמים את כל התנעים עד אינסוף.

תנע חבוי (Hidden Momentum) הוא תופעה שמאפשרת עבור גוף שאיננו נע במרחב להכיל תנע! דוגמא נפוצה היא לולאת זרם תחת שדה חשמלי, הלולאה איננה נעה כלל במרחב אך יש לה תנע ואם הזרם יפסק, הלולאה תחל בתנועה פיזית עם תנע מכני.

• הדף
• חוקי התנועה של ניוטון
• רתע
• תנע זוויתי
• גלגל תנע (אנ')

  מדיה וקבצים בנושא תנע בוויקישיתוף

• science/linear-momentum תנע, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)