古典力学 F = d d t ( m v ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})} 運動の第2法則 歴史（英語版 ）
概要
日常生活において、物体の持つ運動量は、動いている物体の止めにくさとして体感される。つまり、重くて速い物体ほど運動量が大きく、静止させるのに大きな力積 が必要になる。
アイザック・ニュートン は運動量の時間的変化と力の関係を運動の第2法則 として提示した。
解析力学 では、上述の定義から離れ、運動量は一般化座標 とオイラー＝ラグランジュ方程式 を通じて与えられる。この運動量は一般化座標系における一般化速度の対応物として、一般化運動量 と呼ばれる。
特にハミルトン形式 の解析力学においては、正準方程式 を通じて与えられる正準変数 の一方を座標と呼び他方を運動量 と呼ぶ。この意味の運動量は、他と区別して、正準運動量 と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、共役運動量 と呼ばれる。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の量子力学 においても重要な役割を果たす。
共役運動量と通常の運動学的運動量の違いが際立つ例として、磁場 中を運動する電子 の運動の例が挙げられる（#解析力学における運動量 も参照）。電磁場 中を運動する電子に対してはローレンツ力 が働くが、このローレンツ力に対応する一般化されたポテンシャルエネルギー には電子の速度の項があるために、共役運動量はラグランジアン のポテンシャル項に依存した形になる。このとき共役運動量と運動学的運動量は一致しない。また、電磁場中の電子の運動を記述する古典的ハミルトニアンでは、共役運動量の部分がすべて共役運動量からベクトルポテンシャル の寄与を引いたものに置き換わる。
数学的表現
運動量は、運動の第2法則 において、その時間に対する変化の割合が力 と等しい量として導入される。
つまり、運動量 p ニュートンの運動方程式 、
d p d t = F ( t ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)}
を満たす。力 F ベクトル量 であり、運動量もまたベクトル量である。また、定義から明らかなように、運動量は時刻 t の関数 として表される量である。
質点 の運動量は、質点の速度 に比例 する。質点の運動量は、質点の速度を v m とすると、
p = m v {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}
で与えられる。
ここで導入された比例係数 m は慣性質量 (inertial mass) と呼ばれ質点の速度の変化し難さを表す。
運動量の変化量は力積 であるが、運動の間、慣性質量が一定であるとすれば、速度の変化量は力積を慣性質量で割ったものとなる。従って、同じ大きさの力積に対しては、慣性質量が大きいほど速度の変化は小さいものとなる。
時間的な変化
時刻 t 0 t 1
Δ p ( t 0 ; t 1 ) := p ( t 1 ) − p ( t 0 ) = ∫ t 0 t 1 d p d t d t {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1}):={\boldsymbol {p}}(t_{1})-{\boldsymbol {p}}(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}\,dt}
とする。 この物体が時刻 t に力 F t )運動方程式 から運動量の時間変化率 dp /dt F t )Δp は
Δ p ( t 0 ; t 1 ) = ∫ t 0 t 1 F ( t ) d t =: I {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt=:{\boldsymbol {I}}}
となり力 F t )t 0 t 1 積分 したものに等しい。 この力の時間積分 I 力積 impulse ）と呼ばれ、運動量の変化量に等しい。
時間 Δt =t 1 −t 0 で物体が受ける力の時間的な平均 は
F ave ( t 0 ; t 1 ) := 1 Δ t ∫ t 0 t 1 F ( t ) d t {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1}):={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt}
で定義される。力の時間平均 F ave
I = Δ p ( t 0 ; t 1 ) = F ave ( t 0 ; t 1 ) Δ t {\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})={\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1})\Delta t}
となる。 特に時間 Δt が充分に短く、力が一定であると見なせる場合には、力積は単に力と時間の積
I = Δ p = F Δ t {\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {F}}\,\Delta t}
として表すことができる。
つまり、物体に一定の力を加えて、物体の運動量の変化を大きくするには、力が作用する時間を長くすればよい。逆に、大きな力を加えたとしても、それがごく短期間のものであれば、物体に与える力積は小さくなる。
質点系の運動
運動量は加法的な量であり、系の全運動量は部分の運動量の和で表される。
質点系の全運動量 P i = 1, 2, 3,...p i mi v i = mi dr i / dt
P ( t ) = ∑ i p i ( t ) = ∑ i m i d r i d t = d d t ( ∑ i m i r i ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)=\sum _{i}m_{i}\,{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\right)}
となる。 ここで質点系の全質量 M と質量中心 r g
M = ∑ i m i , r g ( t ) = 1 M ∑ i m i r i ( t ) {\displaystyle M=\sum _{i}m_{i},~{\boldsymbol {r}}_{g}(t)={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)}
により導入すれば
P ( t ) = M d r g d t {\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=M{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt}}}
となる。 即ち、質点系の全運動量は、質量中心に全質量が集中していると考えたときの運動量に等しい。
質点 i の運動量 p i i に作用する力 F i
d p i d t = F i {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {F}}_{i}}
を満たす。 ここで質点 i に作用する力は、質点系の外部から作用する外力と、系に含まれる他の質点との内部相互作用に分けられる。 質点 i に作用する外力を f i j から質点 i に作用する内力を f ij
F i = f i + ∑ j f i j {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}={\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}
と表される。 ただし、質点 i から質点 i 自身に作用する力は f ii
d P d t = ∑ i d p i d t = ∑ i f i + ∑ i , j f i j {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}
となる。 ここで運動の第3法則 から、質点 j から質点 i に作用する力 f ij i から質点 j に作用する力 f ji
f i j = − f j i , f i j + f j i = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{ij}=-{\boldsymbol {f}}_{ji},~{\boldsymbol {f}}_{ij}+{\boldsymbol {f}}_{ji}=0}
が成り立ち、内力を全て足し合わせたものは 0 となる。 従って
d P d t = M d 2 r g d t 2 = ∑ i f i {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=M{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}}
となり、質点系の全運動量の時間変化は作用する外力の総和 と等しい。 これは、重力などの単純な外力の下では質量中心の運動が相対位置の運動から分離できることを意味している。
保存則
質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は
d P d t = d d t ( ∑ i p i ( t ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)\right)=0}
P ( t ) = ∑ i p i ( t ) = const. {\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)={\text{const.}}}
が成り立つ。 つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。これは運動量保存の法則 (law of conservation of momentum) と呼ばれる。運動量保存の法則は、ニュートン力学においては作用反作用の法則 から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である。たとえば、電磁気学 などの場の理論 では近接作用論 の立場をとり、遠隔作用論 的な法則である作用反作用の法則 をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される。
モーメント
物理学において、ベクトル で表される物理量とある原点に対する位置の外積 をモーメント という。運動量のモーメントは、角運動量 (angular momentum) と呼ばれ、次のように定義される。
L := r × p . {\displaystyle {\boldsymbol {L}}:={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}.}
古典的な角運動量の大きさは、位置ベクトル r p r 直交 する成分の大きさの積として表される。2 つのベクトル r p r p θ とすれば、角運動量の大きさは次のように表される。
| L | = | r | | p ⊥ | = | r | | p | sin θ . {\displaystyle \left|{\boldsymbol {L}}\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}_{\perp }\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}\right|\sin \theta .}
解析力学においては、角運動量は角度 に対応した一般化運動量として得られる。
角運動量は、ニュートンの運動方程式 と同様な方程式、
d L d t = N {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}
を満たす。ここで N r F 力のモーメント である。
解析力学における運動量 解析力学 において、一般化座標 qi に対応する一般化運動量 (generalized momentum) pi はその系 のラグランジアン L (q · q · q i 偏微分 として定義される。
p i := ∂ L ( q , q ˙ ) ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}:={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
ここで、ラグランジアン L (q · q 運動エネルギー K 、ポテンシャル U の差として定義される。
L = K − U . {\displaystyle L=K-U.}
ハミルトン形式 の力学では、一般化速度の代わりに一般化運動量が力学変数として用いられる。ハミルトニアン H (q p L (q · q ルジャンドル変換 として定義される。ルジャンドル変換
H ( q , p ) := max q ˙ ∈ D { q ˙ ⋅ p − L ( q , q ˙ ) } {\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}):=\max _{{\dot {\boldsymbol {q}}}\in D}\left\{{\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right\}}
の右辺を最大化する · q D の中でラグランジアンが凸 でありかつ充分滑らか なら、そのような · q
∂ ∂ q ˙ ( q ˙ ⋅ p − L ( q , q ˙ ) ) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\left({\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right)={\boldsymbol {0}}.}
これはすなわち、ハミルトニアンの変数 p
直交座標系 3 次元の直交座標系 x x ˆ x y ˆ y z ˆ z ポテンシャル が速度 · x
L ( x , x ˙ ) = m 2 ( x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 ) − U ( x ) {\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}
p α = ∂ L ∂ α ˙ = m α ˙ , α = x , y , z {\displaystyle p_{\alpha }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\alpha }}}}=m{\dot {\alpha }},\quad \alpha =x,y,z}
であり、このとき一般化運動量 p ニュートン形式 の運動量に一致する。
極座標系 一般化座標として二次元極座標 x r , θ )r , θ pr , pθ
L ( r , θ , r ˙ , θ ˙ ) = m 2 ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) − U ( x ) {\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}
p r = ∂ L ∂ r ˙ = m r ˙ {\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}
p θ = ∂ L ∂ θ ˙ = m r 2 θ ˙ {\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}
となる。ここで、θ に共役な運動量は角運動量 となっている。また r の共役運動量は動径方向への運動量を表している。
一般化されたポテンシャル ポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。
p i = ∂ ( K ( v ) − U ( x , v ) ) ∂ v i ≠ ∂ K ( v ) ∂ v i = m v i . {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial (K({\boldsymbol {v}})-U({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}}))}{\partial v_{i}}}\neq {\frac {\partial K({\boldsymbol {v}})}{\partial v_{i}}}=mv_{i}.}
このような系の例として、電磁場 中を運動する電荷 を持つ粒子 の非相対論的 な運動が挙げられる。 この系のラグランジアンは具体的に
L ( x , v ) = m 2 v 2 − e ϕ ( x ) + e v ⋅ A ( x ) {\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})={\frac {m}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}})+e{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})}
である。ここで e は物体の持つ電荷 、φ はスカラーポテンシャル 、A ベクトルポテンシャル である。このとき、共役運動量は
p = m v + e A {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}+e{\boldsymbol {A}}}
となる。このときの共役運動量は質量と速度の積の普通の 運動量に、電磁場との相互作用による eA の項が加わる。 このとき、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換
H ( x , p ) = v ⋅ p − L ( x , v ) {\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})}
より、
H ( x , p ) = ( p − e A ( x ) ) 2 2 m + e ϕ ( x ) {\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})\right)^{2}}{2m}}+e\phi ({\boldsymbol {x}})}
となる。ベクトルポテンシャルのない系と比べると、形式的には共役運動量 p p eA
相対性理論 相対性理論において運動量とエネルギー はミンコフスキー空間 における四元ベクトル を為し、
p μ = m d x μ d τ {\displaystyle p^{\mu }=m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}} である（m は質量、τ は固有時間 ）。これの空間成分は
p j = m d x j d t d t d τ = m v j 1 − v 2 c 2 {\displaystyle p_{j}=m{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {mv_{j}}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} となる。非相対論的極限 v /c → 0
運動量とエネルギーは
− m 2 c 2 = − E 2 c 2 + p → 2 {\displaystyle -m^{2}c^{2}=-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+{\vec {p}}^{2}} の関係を満たしている。運動量が 0 の場合は有名な E = mc 2
量子論 光 （あるいは電磁波 ）は波 であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。 そのエネルギーと運動量は
E = h ν = ℏ ω {\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega } p = h ν c = h λ = ℏ k {\displaystyle p={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k} である。（ここで h はプランク定数 、ν は振動数 、ω = 2πν 角振動数 、c は真空中の光速 、λ は波長 、k は波数 である）
前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、ω = ck 0 であることが分かる。この質量 0 の粒子を光子 という。
量子力学では、上記の古典論的運動量 p → {\displaystyle {\vec {p}}} ψ ( t , x → ) = ψ ( t , x , y , z ) {\displaystyle \psi (t,{\vec {x}})=\psi (t,x,y,z)}
p → → ℏ i ∇ → = ( ℏ i ∂ ∂ x , ℏ i ∂ ∂ y , ℏ i ∂ ∂ z ) {\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}=\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)} という演算子 であるとみなされる。ここに、 i {\displaystyle \,i} 虚数単位 、 ∇ {\displaystyle \,\nabla } ナブラ である。
或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、
p μ → ℏ i ∂ ∂ x μ {\displaystyle p_{\mu }\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}} である。これらは対応原理 と呼ばれ、解析力学 における作用積分 S {\displaystyle \,S} 汎関数微分 が
δ S δ x μ = p μ {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta x^{\mu }}}=p_{\mu }} であることなどから類推された。
また、正準量子化 という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係
[ x μ , p ν ] = i ℏ δ ν μ {\displaystyle [x^{\mu },p_{\nu }]=i\hbar \delta _{\nu }^{\mu }} [ x μ , x ν ] = 0 , [ p μ , p ν ] = 0 {\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=0\,,\,[p_{\mu },p_{\nu }]=0} を満たす物理量 として量子化 される。
対称性との関係 運動量は空間の一様性（並進対称性）に対応する保存量 である。 時間の一様性に対応するエネルギー 、空間の等方性に対応する角運動量 とともに、基本的な物理量である。
脚注 参考文献 Newton, Isaac (1729) (英語), The Mathematical Principles of Natural Philosophy ウィキソース より閲覧。 松田, 哲『力学』丸善〈パリティ物理学コース〉、1993年。 ランダウ, L.D. 、リフシッツ, E.M. 著、水戸巌 ・恒藤敏彦 ・廣重徹 訳『力学・場の理論 : ランダウ＝リフシッツ物理学小教程』筑摩書房 〈ちくま学芸文庫 〉、2008年。ISBN 978-4-480-09111-6 。 須藤, 靖『解析力学・量子論』東京大学出版会、2008年。ISBN 978-4-13-062610-1 。 砂川, 重信『電磁気学』（新装版）岩波書店〈物理テキストシリーズ 4〉、1987年。ISBN 4-00-007744-9 。 田崎, 晴明『熱力学 現代的な視点から』（初版）培風館、2000年4月12日。ISBN 978-4-563-02432-1 。 関連項目 ウィキメディア・コモンズには、
運動量 に関連するカテゴリがあります。
Newton, Isaac (1729) (英語), The Mathematical Principles of Natural Philosophy, translated by Andrew Motte (English ed.), ウィキソースより閲覧。
