ローレンツ力: 電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力

電場 ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})}$  と磁束密度（磁場） ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})}$  の空間中を運動する荷電粒子（位置 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ 、速度 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)}$ 、電荷 ${\displaystyle q}$ ）に作用する電磁気的な力 ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)}$  は

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))=q{\big \{}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t)){\big \}}}$ 

であり、この ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$  をローレンツ力と言う。ここで、「×」はベクトル積である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。 第二項はビオ・サバールの法則を一般化した形となっている^{[要検証 – ノート]}。

なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力

${\displaystyle q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}}$ 

であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。

荷電粒子が加速度運動している場合、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが^[要校閲]、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる^{[疑問点 – ノート]}。 （参考: 制動放射、ラーモアの公式 放射の反作用、en:Abraham–Lorentz force）

ローレンツ力の向きについて、電場による力${\displaystyle (q{\boldsymbol {E}})}$ は電場と平行である。 また、磁場による力${\displaystyle (q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}$  は右手の法則に従い、下図のようにフレミングの左手の法則で表される。

 

 

また、右手の姿で示す方法もある。

ローレンツ力のする仕事は

${\displaystyle \mathrm {d} W={\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}$ 

である。 ここで、磁場による力の項は、

${\displaystyle \mathrm {d} W_{\mathrm {m} }=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=0}$ 

であり、磁場は仕事をしない。

電場による力の項は、

${\displaystyle \mathrm {d} W_{\mathrm {e} }=q{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=w\,\mathrm {d} t}$ 

である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

電荷 q_i の時刻 t における位置を r_i(t)、速度を v_i(t) とすると、電荷密度 ρ、電流密度 j は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\\{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\end{aligned}}}$ 

と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。

ローレンツ力Fは多数の粒子系に対しては

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\sum _{i}q_{i}\left({\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))+{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\right)}$ 

となる。ここで、電場Eと磁束密度Bを

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})\\{\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{aligned}}}$ 

として、和と積分を入れ替えると、

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\left(\rho (t,{\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\right)}$ 

このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

ローレンツ力を相対論的に記述すると

${\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)}$ 

となる。 ここで X = (ct, r) は粒子の相対論的な位置、p = (E/c, p) は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。 F は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に

${\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c),~(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{1},B_{2},B_{3})}$ 

と表される。

位置の微分は非相対論的な速度 v によって

${\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})}$ 

と表される。 従って、この式の空間成分は

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}=q{\dot {t}}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\dot {t}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}$ 

となる。非相対論的な力 f は

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\frac {\dot {\boldsymbol {p}}}{\dot {t}}}=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}$ 

となる。

• マクスウェルの方程式
• フレミング左手の法則
• 電磁気学