Δύναμη Λόρεντζ

Το σωματίδιο θα αντιληφθεί τη δύναμη εξ αιτίας του ηλεκτρικού πεδίου qE, και εξ αιτίας του μαγνητικού πεδίου qv × B. Ο συνδυασμός τους, δίνει την εξίσωση (ή το νόμο) της δύναμης Λόρεντζ:

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$

όπου

F είναι η δύναμη (σε Νιούτον)
E είναι το ηλεκτρικό πεδίο (σε Βολτς προς μέτρα)
B είναι το μαγνητικό πεδίο (σε Βέμπερς προς μέτρα στο τετράγωνο, ή ισοδύναμα, Τέσλα)
q είναι το ηλεκτρικό φορτίο του σωματιδίου (σε Κουλόμπ)
v είναι η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου (σε μέτρα προς δευτερόλεπτα)
και × είναι το εξωτερικό γινόμενο.

Κατά συνέπεια, ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο θα επιταχυνθεί στην ίδια διεύθυνση με το πεδίο Ε, αλλά η τροχιά του θα καμπυλωθεί κάθετα και στο πεδίο Β και στο διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας v, σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού (εάν ο αντίχειρας του δεξιού χεριού δείχνει στη διεύθυνση του v και ο δείκτης στη διεύθυνση του Β, τότε ο μέσος δείχνει τη διεύθυνση της δύναμης F).

Η δύναμη Λόρεντζ είναι μία από τις οκτώ αρχικές εξισώσεις του Μάξγουελ και είναι η λύση στη διαφορική μορφή του νόμου του Φαραντέι. Σήμερα, ο νόμος του Φαραντέι χρησιμοποιείται αντί της δύναμης Λόρεντζ στις εξισώσεις του Μάξγουελ. Ο νόμος του Φαραντέι και η δύναμη Λόρεντζ εκφράζουν και οι δύο την ίδια φυσική. Η ανακάλυψη της δύναμης Λόρεντζ έγινε πριν την εποχή του Λόρεντζ. Φαίνεται στην εξίσωση (77) της εργασίας του Μάξγουελ On Physical Lines of Force, που εξέδωσε το 1861.

Όταν οι ταχύτητες των σωματιδίων πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός, η εξίσωση της δύναμης Λόρεντζ πρέπει να τροποποιηθεί σύμφωνα με την ειδική σχετικότητα:

${\displaystyle {d\left(\gamma m\mathbf {v} \right) \over dt}=\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$ 

όπου

${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$ 

είναι ο παράγοντας Λόρεντζ και ${\displaystyle c}$  είναι η ταχύτητα του φωτός.

Αυτή η σχετικιστική μορφή είναι ταυτόσημη με την συμβατική έκφραση της δύναμης Λόρεντζ που προκύπτει από το νόμο του Νεύτωνα, F= dp/dt, όπου η ορμή p είναι ${\displaystyle p=\gamma mv.}$ 

Η αλλαγή στην ενέργεια λόγω των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, σε σχετικιστική μορφή, είναι

${\displaystyle {d\left(\gamma mc^{2}\right) \over dt}=q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} .}$ 

Η αλλαγή στην ενέργεια εξαρτάται δηλαδή μόνο από το ηλεκτρικό και όχι από το μαγνητικό πεδίο.

Η εξίσωση της δύναμης Λόρρεντζ μπορεί να γραφεί σε συναλλοίωτη μορφή, μέσω του τανυστή του πεδίου.

${\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }}$ 
όπου
${\displaystyle \tau }$  είναι c φορές ο ιδιοχρόνος του σωματιδίου,
q είναι το ηλεκτρικό φορτίο,
u είναι η τετραταχύτητα του σωματιδίου, που ορίζεται ως:
${\displaystyle u^{\beta }=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma \left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,}$ 
${\displaystyle u_{\beta }=\left(u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}\right)=\gamma \left(-c,v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,}$  και

F είναι ο τανυστής ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (ή ηλεκτρομαγνητικός τανυστής) και γράφεται:

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&cB_{z}&-cB_{y}\\-E_{y}&-cB_{z}&0&cB_{x}\\-E_{z}&cB_{y}&-cB_{x}&0\end{bmatrix}}}$ .

Τα πεδία μετασχηματίζονται σε ένα σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή σχετική ταχύτητα ως:

${\displaystyle {\acute {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta },}$ 

όπου ${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}$  είναι ένας μετασχηματισμός Λόρεντζ.

Η δύναμη Λόρεντζ είναι μια αρχή που εφαρμόζεται σε διάφορες συσκευές, όπως:

• στο κύκλοτρον
• στις Ομοπολικές γεννήτριες
• στα Magnetrons
• στα Magnetoplasmadynamic thrusters
• σε φίλτρα ταχύτητας

Η δύναμη Λόρεντζ μπορεί επίσης να δράσει πάνω σε έναν αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα, μέσω της αλληλεπίδρασης των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας με τα άτομα του αγώγιμου υλικού. Στην περίπτωση αυτή ονομάζεται δύναμη Λαπλάς. Η δύναμη αυτή χρησιμοποιείται σε διάφορες συσκευές, όπως:

• τα Railguns
• τις ηλεκτρικές γεννήτριες
• τις ηλεκτρικές μηχανές.

• Ηλεκτρομαγνητισμός
• Βαρυτομαγνητισμός
• Χέντρικ Λόρεντς
• Εξισώσεις Μάξουελ

• Serway and Jewett (2004). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-40846-X. 
• Feynman, Leighton and Sands (2006). The Feynman Lectures on Physics The Definitive Edition Volume II. Pearson Addison Wesley. ISBN 0-8053-9047-2. 

• Δύναμη Λόρεντζ (animation)