כוח לורנץ: חוק פיזיקלי חשמלי

כאשר משתמשים במערכת היחידות הבינלאומית הכוח ניתן על ידי

כאשר:

• ${\displaystyle \ q}$ הוא גודל המטען (בקולון).
• השדה ${\displaystyle \ E}$ הוא השדה החשמלי (בוולט למטר).
• השדה ${\displaystyle \ B}$ הוא השדה המגנטי (בטסלה).
• ${\displaystyle \ v}$ היא המהירות של החלקיק (במטר לשנייה).
• הסימון ${\displaystyle \ \times }$ מסמל מכפלה וקטורית.

כוח לורנץ הוא מיוחד משום שהוא תלוי במהירות של החלקיק, דבר שגרם לסתירות עם המכניקה הקלאסית. סתירות אלו נפתרות על ידי טרנספורמציות לורנץ שנוסחו לראשונה על ידי הפיזיקאי ההולנדי הנדריק לורנץ אך הוצדקו פיזיקלית רק על ידי תורת היחסות הפרטית של אלברט איינשטיין.

ביחידות cgs הנוסחה עבור כוח לורנץ היא:

${\displaystyle \ {\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\frac {\vec {v}}{c}}\times {\vec {B}}\right)}$,

כאן ${\displaystyle \ c}$ היא מהירות האור.

יתרון גדול של צורה זו הוא הדגשת הקשר העמוק של הכוח המגנטי לתורת היחסות. מנוסחה זו גם אפשר לראות שביחידות CGS הממדים של השדה המגנטי הם כמו של השדה החשמלי (בניגוד למצב ביחידות SI).

היחס בין כיווני וקטורי השדה המגנטי, מהירות החלקיק והכוח הפועל עליו

כיוונו של הכוח המגנטי ניצב למישור המכיל את וקטורי מהירות החלקיק הטעון והשדה המגנטי.

עובדה זו מזמנת כלל שימושי לקביעת היחס בין כיווניהם ההדדיים של וקטורים אלה, המכונה כלל יד ימין. אופן השימוש בכלל זה מתואר להלן. כאשר כף יד פתוחה - אם הבוהן מתווה את כיוון מהירות החלקיק ויתר האצבעות את כיוון השדה המגנטי, אזי כיוון הכוח נקבע על ידי כיוון הניצב לכף היד, עבור מטענים חיוביים, ובניצב לגב כף היד החוצה, עבור מטענים שליליים. בגרסה מעט שונה: משתמשים בשלוש האצבעות הראשונות בכף יד ימין, כאשר הבוהן מתווה את כיוון המהירות, האצבע את כיוון השדה, והאמה את כיוון הכוח המגנטי.

תנועת חלקיק בהשפעת שדות מקבילים

תנועה נפוצה בהשפעת כח לורנץ היא כאשר השדה המגנטי והשדה החשמלי מקבילים, תנועה כזאת משמשת בציקלטרונים, שכן כאשר השדה המגנטי והחשמלי מקבילים בכיוונם החלקיק מבצע תנועה ספירלית שבאמצעותה אפשר להאיץ חלקיקים למהירויות גדולות באופן פשוט יחסית.

הוכחה:

מהצבת הנתון כי השדות מקבילים: ${\displaystyle {\vec {F}}=q\left({E{\hat {x}}+{\vec {v}}\times B{\hat {x}}}\right)={\vec {F}}=qE{\hat {x}}+q\left({{v_{z}}B{\hat {y}}-{v_{y}}B{\hat {z}}}\right)}$

נשתמש בקשר בין הכוח לתאוצה שהיא הנגזרת של המהירות: ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=m{\dot {\vec {v}}}}$

נפרק את הווקטור לרכיבים: ${\displaystyle {{\dot {v}}_{x}}={\frac {qE}{m}}\;;\;{{\dot {v}}_{y}}=-{\frac {q}{m}}{v_{z}}B\;;\;{{\dot {v}}_{z}}={\frac {q}{m}}{v_{y}}B}$

מפתירת המשוואה הדיפרנציאלית נקבל כי: ${\displaystyle {v_{y}}={v_{0}}\sin \left({{\frac {qB}{m}}t}\right)\;;\;{v_{z}}={v_{0}}\cos \left({{\frac {qB}{m}}t}\right)}$

נבצע אינטגרציה על מנת לקבל את מיקום הגוף: ${\displaystyle y=-{v_{0}}\cos \left({{\frac {qB}{m}}t}\right){\frac {m}{qB}}\;;\;z={v_{0}}\sin \left({{\frac {qB}{m}}t}\right){\frac {m}{qB}}\;;\;x={\frac {qE}{m}}t}$

מהעלאה בריבוע של המיקום בצירים Z,Y וחיבורן יוצא: ${\displaystyle {z^{2}}+{y^{2}}={\left({{v_{0}}{\frac {m}{qB}}}\right)^{2}}\left({\sin \left({{\frac {qB}{m}}t}\right)^{2}+\cos \left({{\frac {qB}{m}}t}\right)^{2}}\right)={\left({{v_{0}}{\frac {m}{qB}}}\right)^{2}}}$

זוהי משוואת מעגל ברדיוס ${\displaystyle {\frac {mv_{0}}{qB}}}$, מכאן שהגוף מבצע סופרפוזיציה של תנועה מעגלית ותנועה בקו ישר במהירות קבועה בציר ה X שהיא תנועה ספירלית.   

• אלקטרומגנטיות
• מאיץ חלקיקים
• מדחף מגנטו-פלזמי דינמי

  מדיה וקבצים בנושא כוח לורנץ בוויקישיתוף

• יישום ג'אווה המדגים את כוח לורנץ
• מהלגרנג'יאן לכוח לורנץ
• כוח לורנץ, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)