Բնական Թիվ: թվեր, որոնք օգտագործվում են առարկաներ հաշվելու համար

Բնական թվերի բազմությունն անվերջ է, քանի որ ցանկացած բնական ${\displaystyle n}$ թվի համար կա ավելի մեծ թիվ։ Բացասական և ոչ ամբողջ թվերը բնական չեն համարվում։

Բնական թվերի և դրանց հետ գործողությունների հատկությունները ուսումնասիրում են թվաբանությունն ու (ավելի խորությամբ) թվերի տեսությունը ։

Բնական թվերի սահմանման երկու մոտեցում կա.

• Թվեր, որոնք ծագում են օբյեկտները համարակալելիս. առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ ...;
• Առարկաների քանակը ցույց տվող թվեր․ 0 առարկա, 1 առարկա, 2 առարկա, 3 առարկա, 4 առարկա, 5 առարկա…

Առաջին դեպքում բնական թվերի շարքը սկսվում է մեկից, երկրորդում՝ զրոյից։ Չկա հստակ կարծիք, թե որ մոտեցումն է ճիշտ (այսինքն ՝ զրոն բնական թիվ է, թե ոչ)։ Ռուսական աղբյուրների ճնշող մեծամասնությունը ավանդաբար որդեգրել է առաջին մոտեցումը։ Երկրորդ մոտեցումը, օրինակ, կիրառվում է Նիկոլա Բորբակիի աշխատություններում։

Բոլոր բնական համարների բազմությունը սովորաբար նշվում է ${\displaystyle \mathbb {N} }$  նշանով։ ISO 31-11 (1992) և ISO 80000-2 (2009) միջազգային ստանդարտները սահմանում են հետևյալ խորհրդանիշները ․

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$  - բնական թվեր, ներառյալ զրո։ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4\dots \}}$  ...
• ${\displaystyle \mathbb {N^{*}} }$  - բնական թվեր առանց զրոյի. ${\displaystyle \{1,2,3,4\dots \}}$  ...

Ռուսական աղբյուրներում այս ստանդարտը դեռևս չեն պահպանվում, դրանցում ${\displaystyle \mathbb {N} }$ –ով նշում է բնական թվերը առանց զրոյի, իսկ բնական թվերը ներառյալ զրոն նշվում են ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0}}$  և այլն։

Փակ գործողություններին (գործողություններ, որոնց արդյունքը նույնպես պատկանում է բնական թվերի բազմությանը) պատկանում են հետևյալ գործողությունները․

• գումարում ՝ գումարելի + գումարելի = գումար;
• բազմապատկում . արտադրիչ × արտադրիչ = արտադրյալ;
• աստիճան բարձրացում . ${\displaystyle a^{b}}$  , որտեղ ${\displaystyle a}$ –ն հիմքն է, ${\displaystyle b}$  –ն՝ ցուցիչը։ Եթե ${\displaystyle a}$ –ն և ${\displaystyle b}$ –ն բնական թվեր են, ապա արդյունքը նույնպես կլինի բնական թիվ։

Հավելյալ դիտարկվում են ևս երկու գործողություններ (պաշտոնապես չեն համարվում գործողություններ բնական թվերի հետ, քանի որ չեն կարող կատարվել բոլոր թվային զույգերի հետ)։

• հանում . նվազելի - հանելի = տարբերություն։ Այս դեպքում նվազելին պետք է լինի ավելի մեծ, քան հանելին (կամ հավասար լինի դրան, եթե զրոն համարվում է բնական թիվ);
• բաժանում մնացորդով . բաժանելի / բաժանարար = (քանորդ, մնացորդ)։ ${\displaystyle a}$ –ն ${\displaystyle b}$ –ի վրա բաժանումից ստացված ${\displaystyle p}$  քանորդն ու ${\displaystyle r}$  մնացորդը սահմանվում են հետևյալ կերպ. ${\displaystyle a=p\cdot b+r}$ , երբ ${\displaystyle 0\leqslant r$  ... Պետք է հաշվի առնել, վերջին պայմանի հետևանքով արգելվում է զրոյի վրա բաժանումը, քանի որ հակառակ դեպքում ${\displaystyle a}$  կարող է ներկայացվել որպես ${\displaystyle a=p\cdot 0+a}$ , այսինքն ՝ ցանկացած թիվ կարող է համարվել քանորդ, իսկ ${\displaystyle a}$ –ն մնացորդ։

Պետք է նշել, որ հիմնական գործողություններն են գումարումը և բազմապատկումը։

Հիմնական հատկությունները

Տեղափոխական օրենք

• Գումարելիների տեղափոխումից գումարը չի փոխվում․

${\displaystyle a+b=b+a}$ 

• Արտադրիչների տեղափոխումից արտադրյալը չի փոխվում․

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ 

Զուգորդական օրենք

• Մի քանի թիվ գումարելիս կարելի է ընտրել ավելի հարմար հերթականություն․

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ 

• Մի քանի թիվ բազմապատկելիս կարելի է ընտրել ավելի հարմար հերթականություն․

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ 

Բաշխական օրենք

• Գումարը թվով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թվով բազմապատկել յուրաքանչյուր գումարելին և ստացված արտադրյալները գումարել․

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}}$