Абелева Группа

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком ${\displaystyle +}$ и называется сложением

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$  абелева. Действительно, для любых ${\displaystyle x=a^{n}}$  и ${\displaystyle y=a^{m}}$  верно, что
  ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ .
  • В частности, множество ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,.}$ 
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле ${\displaystyle \mathbb {R} }$  вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть ${\displaystyle n}$  — натуральное число, а ${\displaystyle x}$  — элемент коммутативной группы ${\displaystyle G}$  с операцией, обозначаемой +, тогда ${\displaystyle nx}$  можно определить как ${\displaystyle x+x+\ldots +x}$  (${\displaystyle n}$  раз) и ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ .
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}$  всех групповых гомоморфизмов из ${\displaystyle G}$  в ${\displaystyle H}$  само является абелевой группой. Действительно, пусть ${\displaystyle f,\;g:G\to H}$  — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма ${\displaystyle f+g}$ , заданная как ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если ${\displaystyle H}$  не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра ${\displaystyle Z(G)}$  группы ${\displaystyle G}$  — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы ${\displaystyle G}$ , и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$  изоморфно прямой сумме ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$  и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$  и ${\displaystyle n}$  взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу ${\displaystyle G}$  в форме прямой суммы

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$ 

двумя различными способами:

• Где числа ${\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}$  степени простых
• Где ${\displaystyle k_{1}}$  делит ${\displaystyle k_{2}}$ , которое делит ${\displaystyle k_{3}}$ , и так далее до ${\displaystyle k_{u}}$ .

Например, ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}}$  может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}}$ . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

• Дифференциальной группой называется абелева группа ${\displaystyle C}$ , в которой задан эндоморфизм ${\displaystyle d\colon C\to C}$  такой, что ${\displaystyle d^{2}=0}$ . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра ${\displaystyle \ker \,d}$  — циклами, элементы образа ${\displaystyle \mathrm {Im} \,d}$  — границами.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

• Алгебраическая система