Stærðfræði Vigur

Vigur er oft táknaður myndrænt sem strik milli tveggja punkta og með ör sem gefur til kynna stefnuna. Vigur frá upphafspunkti A til B er gjarnan táknaður:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$

Vigurinn getur til að mynda táknað hliðrun frá A til B, lengd hans gefur til kynna stærð hliðrunarinnar og örin í hvaða stefnu hliðrunin er.

Margar algebrureglur sem gilda um aðgerðir á rauntölum samsvara reglum um vigra, svo sem víxlreglan, tengireglan og dreifireglan. Það er hægt að leggja saman vigra, draga einn vigur frá öðrum, margfalda þá saman og snúa þeim. Summu tveggja vigra sem hafa sama upphafspunkt má finna með samsíðungsreglunni. Margföldun vigurs með tölu, sem þá er nefnd stigstærð, jafngildir því að breyta lengd vigursins og margföldun með neikvæðri stigstærð gefur honum öfuga stefnu og breytir stærð hans.

Það má kerfisbinda lýsingu vigra og aðgerðir þeirra í hnitakerfi. Vigurinn fær þá hnit sem mótast af vegalengd og stefnu á milli upphafs- og endapunkts vigursins, samlagningu og margföldun vigra má þá framkvæma á hnitunum sem auðveldar gjarnan reikninga.

Vigrar gegna veigamiklu hlutverki í eðlisfræði. Sumum hlutum nægir að lýsa með stærð og mælieiningu, svo sem massa í kílógrömmum. En önnur magnbundin fyrirbæri eins og kraftur og hröðun hafa líka stefnu, krafturinn sem beitt er þegar kerra er toguð áfram hefur bæði stærð og stefnu í þá átt sem kerran er dregin. Slík fyrirbæri eru kölluð vigurstærðir.

Í þessari grein er með vigri átt við rúmfræðilegt fyrirbrigði sem hefur bæði stærð (í stærðfræði tala en í eðlisfræði tala ásamt mælieiningu) og stefnu, sem myndrænt er sýnd með ör.

Þegar við hugsum okkur vigur í kartesísku hnitakerfi hefur hann ákveðinn upphafs- og endapunkt. Þetta er kallaður staðbundinn vigur. Annars, þegar aðeins stærð hans og stefna er tilgreind, skipta upphafs- og endapunktar ekki máli og er þá talað um frjálsan vigur. Vigrar eru einnig gjarnan táknaðir með breiðletruðum bókstaf, til dæmis:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {AB}}}$ 

Vigrarnir a og b eru sagðir jafngildir ef þeir hafa sömu stærð og stefnu óháð staðsetningu þeirra. Við segjum að a sé samstefna b ef þeir hafa sömu stefnu óháð stærð þeirra. Ef -b er samstefna a er b sagður gagnstefna a.

Dæmi um vigur á talnalínu

Kraftur (F) er vigurstærð sem gæti til dæmis verið „15 newton til hægri“, ef við veljum talnalínu sem er jákvætt áttuð til hægri er hnit vigursins 15 N en ef krafturinn verkar til vinstri -15 N (þ.e. vigurinn stefnir til vinstri). Stærð eða lengd vigursins er 15 N í báðum tilfellum án formerkis. Hliðrun (s) er einnig vigurstærð og getur verið „4 metrar til hægri“, þá er hnit vigursins 4 m en ef hliðrunin er í öfuga átt -4 m. Eftir sem áður er lengd beggja vigra 4 m. Vinna í eðlisfræðilegum skilningi er innfeldi tveggja vigurstærða. Okkur nægir að vita að innfeldi tveggja vigra er tölustærð ekki vigur; aðgerðin er skýrð síðar.

${\displaystyle W={\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {s}}}$ 

Í þessu tilfelli er vinnan sem unninn er af hendi, þegar 15 N krafti er beitt til að hliðra hlut um 4 metra, 60 J.

Vigur ${\displaystyle {\overline {x}}}$  í ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  er röðuð n-nd ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  af rauntölum. Vigurinn hefur n víddir. Vigrar eru gjarnan skrifaðir yfirstrikaðir, undirstrikaðir eða feitletraðir til þess að aðgreina þá ótvírætt frá öðrum breytistærðum. Aðgát skal höfð þegar yfirstrikun er notuð, því að hún er einnig notuð til þess að tákna tvinntölur. Hér verða rithættirnir þrír notaðir á víxl til þess að leggja áherslu á að þeir eru jafngildir í raun.

Núllvigur

Vigur sem hefur öll stök núll, t.d. ${\displaystyle {\overline {AA}}}$  eða ${\displaystyle {\overline {0}}=(0,0,...,0)}$  kallast núllvigur, og er ritaður ${\displaystyle \mathbf {0} }$  eða ${\displaystyle {\overline {O}}}$ . Núllvigur hefur enga stefnu og stærðina núll því ${\displaystyle {\sqrt {\sum _{n=1}x_{n}^{2}}}=0}$  (sjá Pýþagórasarregluna) og er samkvæmt skilgreiningu samlagningarhlutleysa.

${\displaystyle {\overline {AA}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ 

Stærð vigra

Stærð, einnig nefnd lengd vigra er fundin með Pýþagórasarreglunni þannig að fyrir fyrir tvívíða vigurinn

${\displaystyle {\overline {AB}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$  er lengdin ${\displaystyle {\sqrt {(B_{x}-A_{x})^{2}+(B_{y}-A_{y})^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ 

Vigur með stærðina 1 nefnist einingavigur. Einingavigur má gera úr hvaða vigri sem er með því að deila honum með stærð sinni.

${\displaystyle {\underline {e_{x}}}={\frac {\underline {x}}{|{\underline {x}}|}}}$ 

Samlagning og frádráttur vigra

Vigrasamlagning eða samlagning vigra fæst með því að leggja saman x-hnit og y-hnit vigrana. Samlagninguna er hægt að tákna myndrænt (sbr. rauður vigur á mynd fyrir neðan) með því að gera vigur AC, og er því AB + BC = AC ( þar sem; a = AB, b = BC og a + b = AC ).

Samlagning a og b er:

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e_{1}} +(a_{2}+b_{2})\mathbf {e_{2}} +(a_{3}+b_{3})\mathbf {e_{3}} .}$ 

Hægt er að túlka samlagningu vigra myndrænt með því að leggja byrjun vigursins b við enda vigursins a og að teikna svo vigur frá upphafi a að enda b. Sá vigur (fjólublár á myndinni fyrir neðan) er summa vigranna a og b.

 

Mismunur vigra eða frádráttur vigra virkar á sama hátt, og mismunur vigursins a og b er:

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e_{1}} +(a_{2}-b_{2})\mathbf {e_{2}} +(a_{3}-b_{3})\mathbf {e_{3}} }$ 

Frádráttur þessara tveggja vigra má útskýra rúmfræðilega sem sú gjörð að draga b frá a, setja upphaf a og upphaf b í sama punkt og draga svo vigurinn a − b (fjólublár á myndinni að neðan) frá oddi b að oddi a.

 

Innfeldi vigra

Innfeldi er rauntala sem rituð er með punkti og þess vegna stundum kallað depilmargfeldi. Innfeldi tveggja vigra ${\displaystyle {\overline {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}}$  og ${\displaystyle {\overline {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}}$ , er reiknað: ${\displaystyle {\overline {a}}\cdot {\overline {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}$ 

Margfeldi vigurs með tölu

 

Margföldun við rauntölu lengir eða styttir vigurinn og snýr stefnu hans við sé talan neikvæð. Margföldun með töluna núll gerir hann að núllvigri, en talan einn er margföldunarhlutleysa. Endanleg tala lengir vigurinn ef algildið er stærra en einn, en styttir hann ef það er minna.

${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$  (r er stak í mengi rauntalna, v er rauntöluvigur í n víddum).
${\displaystyle r\mathbf {v} =(rv_{1},rv_{2},...,rv_{n})}$ 

Látum x, y og z vera vigra í ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Látum r og s vera rauntölur. Reiknireglur vigra eru þá:

${\displaystyle x+y=y+x}$  (víxlregla)
${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$  (tengiregla)
${\displaystyle x+(-x)=0}$  (samlagningarandhverfa)
${\displaystyle 0+x=x}$  (núllvigurinn er samlagningarhlutleysa)
${\displaystyle r(x+y)=rx+ry}$  (dreifiregla)
${\displaystyle r(sx)=rs(x)}$  (tengiregla)
${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$  (víxlregla)
${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$  (dreifiregla)
${\displaystyle r(x\cdot y)=(rx)\cdot y=x\cdot (ry)}$  (tengiregla)

Vigrar eru almennt bundnir eða frjálsir. Frjáls vigur er óháður upphafspunkti sínum og breytist ekki við færslu. Bundin vigur er aftur skorðaður við upphafspunkt eða línu og er talað um punktbundin eða línubundinn vigur.

• Nettó kraftur