Vektor: Két- vagy háromdimenziós irányított szakasz, az euklideszi tér eleme

Ez a szócikk a matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Vektor (egyértelműsítő lap).

Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb. A fogalom különböző irányú általánosításai egyes tudományágakban is megjelennek. Így például a biológiában vektornak nevezik a fertőzéseket terjesztő élőlényeket, hatásokat. Az analógia teljesen világos, a hordozótól a fertőzöttig vezető utat pont a köztesgazda jelenti, azaz két pontot egy meghatározott irányban köt össze.

A matematikában azonban sokkal elvontabb vektorokat is ismerünk. Ezek haszna sokszor a laikusok számára végképp nem nyilvánvaló, és ritkán ismertek, közismertek. Alkalmazásaik azonban széles körűek, különösen a modern tudományokban.

A vektor a matematikában egy felettébb fontos fogalom. Alkalmazásai rendkívül sokrétűek, a geometriától az absztrakt analízisig mindenhol lehet velük találkozni. Ennek megfelelően az értelmezése is többféleképpen történhet.

Maguk a vektorok a számok egyfajta általánosításainak is tekinthetőek. Ezzel a megközelítéssel főleg az algebrai definíciók dolgoznak, és ekkor legjellemzőbb alkalmazásaik az egyenletrendszerek kezelése.

Mivel a fogalom eredete a fizika, ezért fizikai és geometriai meggondolások is szolgálhatnak alapjául, ekkor főleg a viselkedésük lesz a definíció alapja. A legközkeletűbb értelmezése a fogalomnak is geometriai: olyan szakasz, amit a nagyságán túl az iránya is jellemez. Ez szinte tipizálja a fogalmat, hiszen így olyan mennyiségeket, mint a sebesség vagy az erő, kényelmesen szemléletessé tudunk tenni.

A vektorok legáltalánosabb, és így legmélyebb definícióját az analízisben találjuk, ahol a vektorok egy bizonyos típusú halmazhoz rendelhető másik halmaz elemei. Ez felettes értelmezése a fenti két definíciónak, hiszen mindkettőt magába foglalja.

Lineáris algebra

Legyen ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  euklideszi geometriai tér. Ekkor a ${\displaystyle {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}}$  halmaz elemeit, mint rendezett párokat irányított szakasznak nevezzük. Tekintsük most a térben a párhuzamos eltolásokat. Ezek segítségével ${\displaystyle {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}}$  felett egy ekvivalenciarelációt határozhatunk meg.

Két pontpárt, ${\displaystyle (A,B)}$ -t és ${\displaystyle (C,D)}$ -t ekvivalensnek tekintünk, ha van olyan ${\displaystyle p}$  párhuzamos eltolás, hogy ${\displaystyle p(A)=C}$  és ${\displaystyle p(B)=D}$ .

Az ekvivalenciarelációk a halmazt faktorhalmazokra bontják. Az ${\displaystyle {\mathcal {E}}\times {\mathcal {E}}}$  felett az előbbiekben bevezetett ekvivalenciareláció faktorhalmazait szabadvektoroknak, a faktorhalmazok elemeit a szabadvektor reprezentánsainak nevezzük.

Geometria

A geometriában a vektorok az eltolások, mint transzformációk meghatározásában játszanak szerepet. Legyen ugyanis ${\displaystyle \alpha }$  és ${\displaystyle \beta }$  két párhuzamos sík. Ha a távolságuk ${\displaystyle d\neq 0}$ , akkor a tér bármely ${\displaystyle X}$  pontjához olyan módon rendel hozzá egy ${\displaystyle X'}$  pontot, hogy ${\displaystyle |XX'|=2d}$ . Ezen túl az ${\displaystyle X}$  és ${\displaystyle Y}$  pontok képe olyan, hogy ${\displaystyle XX'||YY'}$  és egyező irányításúak. Ezt a leképezést eltolásnak nevezzük.

Világos, hogy az eltoláshoz elegendő az ${\displaystyle (X,X')}$  pontpárt megadni, mivel ez bármely pontnak a képét megadja a fentebbiek szerint. Az ${\displaystyle (X,X')}$  párt ekkor vektornak nevezzük. Eszerint egyébként a konkrét síkokra nincs is szükség, kizárólag a távolságuk és fekvésük lényeges.

A fentebbiek során a lineáris algebrai definíció szerinti osztályozást is megvalósítottuk, tehát itt is lehet beszélni az adott irányítású és hosszúságú vektorok ekvivalenciaosztályáról, amit ez alapján szabadvektornak nevezünk. Ha rögzítünk egy ${\displaystyle O}$  pontot, akkor a szabadvektorok azon reprezentánsait, amik kezdőpontja ${\displaystyle O}$ , kötött vektoroknak nevezzük. Ezek például egy koordináta-rendszer pontjait határozhatják meg.

Analízis

Legyen ${\displaystyle T}$  test, ${\displaystyle H}$  pedig halmaz. Ha értelmezünk két függvényt:

${\displaystyle +:H\times H\rightarrow H}$ , amit általában összeadásnak nevezünk, és
${\displaystyle .:T\times H\rightarrow H}$ , amit leggyakrabban skalárral való szorzás néven emlegetünk,

úgy, hogy a + asszociatív, kommutatív, invertálható és van neutrális eleme, valamint ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in T}$  és ${\displaystyle \forall x,y\in H}$  esetén

• ${\displaystyle \alpha .(\beta .x)=(\alpha \cdot \beta ).x}$ 
• ${\displaystyle (\alpha +\beta ).x=\alpha .x+\beta .x}$ 
• ${\displaystyle \alpha .(x+y)=\alpha .x+\alpha .y}$ 
• ${\displaystyle 1.x=x}$ 

teljesül, akkor ${\displaystyle H}$ -t a ${\displaystyle T}$  test feletti vektortérnek nevezzük, ${\displaystyle H}$  elemeit pedig vektoroknak.

Mint látható, az analitikus definíció olyan mértékben absztrakt, hogy egészen furcsa halmazokat is tudunk vektortérként kezelni. Ilyen lehet például a ${\displaystyle T}$ -ben haladó konvergens sorozatok halmaza, vagy a ${\displaystyle H\rightarrow T}$  függvények halmaza.

 

A vektorműveletek értelmezése céljából érdemes a szemléletes és áttekinthető geometriai képből kiindulni. Ekkor a vektorokat irányított szakaszként, nyíllal ábrázoljuk, és így a jelentésük is a köznapi fogalmakkal megragadhatóvá válik. Ezeken keresztül néhány egyéb fogalom is világossá válik.

Összeadás

Miután a szabadvektorokat a reprezentánsaikkal is jellemezhetjük, két szabadvektor összegét is így tudjuk értelmezni. Az ${\displaystyle {\vec {a}}}$  és ${\displaystyle {\vec {b}}}$  vektorok összegzését egy köztes pont felvételével tudjuk meghatározni. Vegyünk fel egy ${\displaystyle B}$  pontot, és tekintsük az ${\displaystyle {\vec {a}}}$  vektor azon reprezentánsát, aminek végpontja ${\displaystyle B}$ , és a ${\displaystyle {\vec {b}}}$  vektor azon reprezentánsát, aminek kezdőpontja ${\displaystyle B}$ . Ekkor a ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}$  vektor egy reprezentánsát az ${\displaystyle {\vec {a}}}$  vektor kezdőpontja és a ${\displaystyle {\vec {b}}}$  végpontja jelöli ki. Ezt paralelogramma-szabálynak nevezzük. Az elnevezés a mellékelt ábra alapján válik érthetővé.

Szemléletesen, ha a vektorokat elmozdulásnak tekintjük, az ${\displaystyle {\vec {AB}}}$  vektor az ${\displaystyle A}$  pontból ${\displaystyle B}$  pontba jutást jelenti. Hasonlóan a ${\displaystyle {\vec {BC}}}$  vektor is értelmezhető, ekkor pedig az összegvektoruk az ${\displaystyle A}$ -ból ${\displaystyle C}$ -be jutást jelenti, azaz ${\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}}$ .

E definíció alapján ellenőrizhető, hogy a definícióban megkövetelt feltételek az összeadásra hogyan teljesülnek.

Szorzatok

A vektorokból a szorzásra emlékeztető művelet többféle is definiálható. Ebből egy külső, három pedig belső művelet.

Skalárral szorzás

A skalárral való szorzás ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:

${\displaystyle \lambda .{\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}+{\vec {a}}+\dots +{\vec {a}}} _{\lambda {\text{ darab}}}}$ , ha ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }$ .

Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a ${\displaystyle \lambda .{\vec {a}}}$  vektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ -val párhuzamos, és annál ${\displaystyle \lambda }$ -szor hosszabb bármilyen ${\displaystyle T}$ -beli elem esetén.

Mivel ${\displaystyle T}$  elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel ${\displaystyle T}$  általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott ${\displaystyle {\vec {a}}}$ , ${\displaystyle {\vec {b}}}$  és ${\displaystyle {\vec {c}}}$ , valamint ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$  és ${\displaystyle \gamma }$  skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

${\displaystyle {\vec {r}}=\alpha .{\vec {a}}+\beta .{\vec {b}}+\gamma .{\vec {c}}}$ 

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.{\vec {a_{i}}}}$ 

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

${\displaystyle {\vec {0}}=0.{\vec {a_{1}}}+0.{\vec {a_{2}}}+\dots }$ 

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az ${\displaystyle ({\vec {a_{i}}})}$  rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

Skaláris szorzat

Egyes fizikai összefüggések vektormennyiségekből skaláris értékek létrehozását igénylik. Ilyen például a munka kiszámításának a problémája. A definíció is őrzi a fizikai eredetet: a két vektor szorzata legyen maximális, ha párhuzamosak, és nulla, ha merőlegesek, továbbá a szorzat legyen lineáris függvénye a két vektor hosszának.

Az első feltétel szerint a szorzat a két vektor által bezárt szögtől függ. A legegyszerűbb függvény, ami ezt a feltételt kielégíti, a koszinusz függvény. A második feltétellel együtt a szorzat kiszámítására a

${\displaystyle {\vec {a}}{\vec {b}}=a\cdot b\cdot \cos \phi }$ 

képlet szolgál, ahol ${\displaystyle a}$  az ${\displaystyle {\vec {a}}}$  vektor hossza.

Könnyen belátható, hogy a skaláris szorzat kommutatív és a vektorok összeadására nézve disztributív, de nem asszociatív művelet.

A skaláris szorzat adott bázis esetén könnyebben is kiszámítható. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a bázis vektorai egymásra merőlegesek, ez mindig elérhető a Gram–Schmidt-eljárás segítségével például. Ekkor az ${\displaystyle {\vec {a}}}$  és ${\displaystyle {\vec {b}}}$  vektorok a bázis lineáris kombinációjaként felírva:

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum a_{i}{\vec {e}}_{i}}$ 
${\displaystyle {\vec {b}}=\sum b_{i}{\vec {e}}_{i}}$ 

lesznek. A szorzáskor figyelembe véve a skaláris szorzat disztributivitását és az egységvektorok merőlegességét kapjuk:

${\displaystyle {\vec {a}}{\vec {b}}=\sum a_{i}b_{i}}$ .

Például számoljuk ki a ${\displaystyle {\vec {a}}=(2,1,3)}$  és ${\displaystyle {\vec {b}}=(4,-2,-3)}$  vektorok skaláris szorzatát:

${\displaystyle {\vec {a}}{\vec {b}}=2\cdot 4+1\cdot (-2)+3\cdot (-3)=8-2-9=-3}$ .

Nem merőleges bázisvektorok esetén a skaláris szorzat vegyes tagokat is fog tartalmazni, valamint egy, a bázist jellemző operátort.

Ha egy vektort önmagával szorzunk, akkor a definíció értelmében a hosszának a négyzetét kapjuk. Ezt a koszinusztétel bizonyítása során is kihasználjuk.

A matematikában a vektor fogalmának általánosítása okán a skaláris szorzatot belső szorzat néven szokás emlegetni.

Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat egy kizárólag három és hét dimenzióban értelmezhető belső szorzat. Eredete a skaláris szorzathoz hasonlóan fizikai: elsősorban a forgatónyomaték kezelésében bukkan fel, de később több más területen is kényelmesnek bizonyult a használata. A definíciója is ennek megfelelően elsősorban technikai jellegű. Legyen ${\displaystyle {\vec {a}}}$  és ${\displaystyle {\vec {b}}}$  két vektor. Ekkor hozzájuk rendelhető egy harmadik ${\displaystyle {\vec {c}}}$  vektor a következő szabályok szerint:

1. ${\displaystyle {\vec {c}}=0}$ , ha ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {b}}}$ ;
2. ${\displaystyle {\vec {c}}}$  maximális, ha a vektorok merőlegesek egymásra;
3. a szorzat egyenesen arányos a ${\displaystyle {\vec {a}}}$  és ${\displaystyle {\vec {b}}}$  hosszával.
4. a három vektor úgy helyezkedik el egymáshoz képest, mint a koordináta-rendszer x, y és z tengelyei.

Az első két feltételt a vektorok által bezárt szög szinusza is kielégíti, így a harmadik feltétellel együtt a skaláris szorzathoz hasonlóan a

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=a\cdot b\cdot \sin \phi }$ 

képletet írhatjuk fel. Ebben nincsen benne a szorzatvektor iránya, úgyhogy azt továbbra is külön fel kell írnunk.

A vektoriális szorzat nem asszociatív, de ez nem meglepő. Még kevésbé meglepő, hogy nem kommutatív, viszont antikommutatív, azaz ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}}$ . A vektorok összeadására nézve disztributív.

A tér merőleges bázisvektorai esetén érvényes összefüggések:

1. ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{2}={\vec {e}}_{3}}$ 
2. ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}={\vec {e}}_{1}}$ 
3. ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{1}={\vec {e}}_{2}}$ ,

ezeket a koordinátás alak kiszámításakor használjuk ki.

A fenti tulajdonságok alapján levezethető a vektorok szorzatára vonatkozó számítási módszer: Ha ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}}}$ , akkor

${\displaystyle {\vec {c}}_{1}={\vec {a}}_{2}{\vec {b}}_{3}-{\vec {a}}_{3}{\vec {b}}_{2}}$ 
${\displaystyle {\vec {c}}_{2}={\vec {a}}_{3}{\vec {b}}_{1}-{\vec {a}}_{1}{\vec {b}}_{3}}$ 
${\displaystyle {\vec {c}}_{3}={\vec {a}}_{1}{\vec {b}}_{2}-{\vec {a}}_{2}{\vec {b}}_{1}}$ .

Például az ${\displaystyle {\vec {a}}=(2,5,-2)}$  és ${\displaystyle {\vec {b}}=(3,-4,-1)}$  vektorok vektoriális szorzata:

${\displaystyle {\vec {c}}_{1}=5\cdot (-1)-(-2)\cdot (-4)=-5-8=-13}$ 
${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-2)\cdot 3-2\cdot (-1)=-6+2=-4}$ 
${\displaystyle {\vec {c}}_{3}=2\cdot (-4)-5\cdot 3=-8-15=-23}$ .

Skaláris szorzással ellenőrizhet, hogy e vektor mindkettő tényezőre merőleges.

Tenzori (diadikus) szorzat

A vektorok legáltalánosabb szorzata a fizikában a tenzormennyiségek definiálására is szolgál. A tenzorszorzat két vektorhoz egy lineáris leképezést rendel az alábbi definíció szerint:

${\displaystyle {\hat {L}}{\vec {x}}={\vec {a}}.\left({\vec {b}}{\vec {x}}\right)=\left({\vec {a}}\circ {\vec {b}}\right){\vec {x}}}$ 

A definíció valamely koordináta-rendszerben kifejtve a tenzorszorzat egy reprezentációját kapjuk:

${\displaystyle {\hat {L}}_{ij}={\vec {a}}_{i}{\vec {b}}_{j}}$ 

A vektorok tenzorszorzatával a tenzoralgebra foglalkozik alaposabban.

Példaként szorozzuk össze a ${\displaystyle {\vec {u}}=\left(3,-2,5\right)}$  és a ${\displaystyle {\vec {v}}=\left(4,2,-3\right)}$  vektorokat!

${\displaystyle 3\cdot 4=12}$	${\displaystyle 3\cdot 2=6}$	${\displaystyle 3\cdot (-3)=-9}$
${\displaystyle (-2)\cdot 4=-8}$	${\displaystyle (-2)\cdot 2=-4}$	${\displaystyle (-2)\cdot (-3)=6}$
${\displaystyle 5\cdot 4=20}$	${\displaystyle 5\cdot 2=10}$	${\displaystyle 5\cdot (-3)=-15}$

A szorzat tehát:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}12&6&-9\\-8&-4&6\\20&10&-15\end{pmatrix}}}$ 

A vektoroknak számtalan alkalmazása van. Ezek főleg a matematikához, fizikához és informatikához kötődnek. Legtöbbször egyfajta általánosítása a hagyományos vektorfogalomnak az egyes tudományágak saját fogalomalkotása, de az analógia legtöbbször nyilvánvaló.

A matematikában

Jellemzően a lineáris algebrában fordulnak elő vektorok, illetve ehhez kapcsolódóan az analitikus geometriában.

A lineáris algebra az egyenletrendszereket lineáris egyenletekhez hasonló módon kezelő eszközöket kap, ha az ismeretleneket és az egyenletek jobb oldalát egy-egy vektorként kezeljük, ekkor az együtthatók ugyanis egy leképezés mátrixának alakját fogja ölteni. Például

Egyenletrendszer	Egyenlet
${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=b_{n}\end{aligned}}}$	${\displaystyle ax=b}$
${\displaystyle {\hat {A}}{\vec {x}}={\vec {b}}}$	${\displaystyle ax=b}$
${\displaystyle {\vec {x}}={\hat {A}}^{-1}{\vec {b}}}$	${\displaystyle x=a^{-1}b={\frac {b}{a}}}$

A koordinátageometriában a vektorok tulajdonképpen a pontokat jelölik ki, így helyvektorként funkcionálnak, a vektorokból pedig a fentebb említett műveletek segítségével a geometria legalapvetőbb ponthalmazai építhetőek fel. Ez egyben az összekötő kapocs is az algebra és a geometria között, aminek segítségével igazolható e két nagy terület egyenértékűsége.

Ezen túl a vektor fogalom általánosabb, elvontabb formája segítségével az analízis sok fogalma is kényelmesebben kezelhetővé válik. Ilyen például az intervallum felett korlátos függvények halmaza, vagy egy test felett értelmezett operátorok tere.

A vektorok segítségével lehet a Hilbert-tereket, mint speciális, skalárszorzatos tereket definiálni, amik a fizikai alkalmazások során nyernek jelentőséget, mivel a fizikai mennyiségeket a Hilbert-tereken ható operátorokkal jellemezzük.

A fizikában

A fizikában a vektorokat más szemlélettel definiáljuk, mint a matematikában. Mivel a fizika a világot koordináta-rendszerekben írja le, a legfontosabb mennyiségeket a koordináta-rendszerek közötti átmenet szempontjából, azaz a transzformációk során mutatott viselkedésük szerint írjuk le. Az alaptípus a koordináta-rendszert kifeszítő, egységvektorokból álló generátorhalmaz. Ekkor vektornak nevezünk minden olyan fizikai mennyiséget, amelyek úgy transzformálódnak, mint a koordináta-rendszert kifeszítő egységvektorok.

A vektorok azonban nem feltétlenül viselkednek azonosan a fentebbi meghatározással. A vektori szorzat esetén például a tükrözés során a két tényező előjelet vált, a szorzatvektor viszont nem:

${\displaystyle \left(-{\vec {x}}\right)\times \left(-{\vec {y}}\right)=\left(-1\right)^{2}\left({\vec {x}}\times {\vec {y}}\right)}$ 

Az ilyen vektort, mivel tulajdonképpen egy tengelyt jelöl ki, axiálvektornak nevezünk.

A köznapi szemlélet szempontjából a fizikai vektorok legfontosabb tulajdonsága, hogy a nagyságuk mellett irányításuk is van. Ez alapján definiálhatóak a vektormennyiségek: olyan fizikai mennyiség, amit két mennyiség, irány és nagyság jellemez. Ez egyben három paramétert igényel, azonban speciális esetekben a koordináta-rendszer megfelelő megválasztásával egy vagy kettő zérussá tehető. Ez az oka, hogy a bevezető fizikai tanulmányok során az egyenes vonalú mozgások, állandó irányú hatások játszanak elsődleges szerepet.

A klasszikus fizika háromdimenziós vektorokkal foglalkozik, a relativisztikus fizika azonban a téridő leírására már négy paramétert alkalmaz, így itt a vektorok viselkedése teljesen váratlanná válhat a laikus szemlélő számára. A vektorokat három nagy csoportba sorolhatjuk: időszerű, fényszerű és térszerű vektorok.

Az időszerű vektorok hosszának négyzete pozitív, ezen vektorokhoz mindig találunk olyan koordináta-rendszert, hogy a vektor az időtengellyel párhuzamos lesz. Ha két esemény időszerű kapcsolatban van egymással, akkor mindig van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény ugyanott, de egymás után történik. A legegyszerűbb időszerű kapcsolat a kauzalitás, azaz az egyik pont, mint esemény, oka a másiknak. Ha egy vektor időszerű, akkor minden megfigyelő számára időszerű a kapcsolat, ez fejezi ki a relativitáselmélet determinisztikusságát.

A térszerű vektorok hossznégyzete negatív, azaz ezekhez mindig találunk olyan koordináta-rendszert, aminek egy térbeli koordinátatengelyével párhuzamosak. A gyakorlatban a térszerű kapcsolat két esemény között azt jelenti, hogy van olyan megfigyelő, aki számára a két esemény egyszerre történik, de eltérő helyeken.

A fényszerű vektorok hossznégyzete nulla, ezek tehát a koordináta-rendszerek transzformációja során nem változnak. Az elnevezés tükrözi szerepüket: a fényszerű vektorokat a fénysugarak jelölik ki, azaz a fény sebessége minden megfigyelő számára egyenlő.

A számítástechnikában

A számítástechnikában általában az egydimenziós tömböket nevezik vektornak, ez megfelel ugyanis a vektorkoordináták mátrixreprezentációjának. Ugyanakkor azonban egy tömb elemei nem csak számok lehetnek, ennyiben a matematikai vektorfogalomtól el is tér. A konkrét értelmezés általában a programozási nyelv része. Például a C++-ban a Vector egy konténer osztály, aminek elemei tetszőleges, akár több különböző típusba tartozó adatok lehetnek.

• Jánossy Lajos, Tasnádi Péter – Vektorszámítás I (Vektor és tenzoralgebra), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest 2002 ISBN 963 19 3952 9
• Király Bertalan – Lineáris algebra, EKTF Líceum kiadó, Eger 2004, ISBN 963 941714 9
• Fényes Imre – Modern fizikai kisenciklopédia, Gondolat könyvkiadó, Budapest, 1971
• Weisstein, Eric W.: Vektor (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Sulinetes anyag a vektorokról
• Magyarított, letölthető interaktív Flash szimuláció síkvektorok összeadásáról a PhET-től. Grafikus megjelenítés mellett a polár- és derékszögű koordinátákat is megadja.
• Magyarított Flash szimuláció a derékszögű koordináták és a megfelelő egységvektorok kapcsolatáról. Szerző: David M. Harrison