Matematika Grup: Himpunan aljabar dengan operasi internal asosiatif yang dapat dibalik yang mengakui elemen netral

Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk kuadrat.

Contoh pertama: bilangan bulat

Salah satu grup yang paling dikenal adalah himpunan bilangan bulat

$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$

 

${\displaystyle a}$ 

${\displaystyle b}$ 

${\displaystyle a+b}$ 

${\displaystyle +}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 

• Untuk semua bilangan bulat ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  dan ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ . Ini dapat dijelaskan melalui kata-kata, yang berarti bahwa menambahkan ${\displaystyle a}$  ke ${\displaystyle b}$  terlebih dahulu, dan kemudian menambahkan hasil tersebut ke ${\displaystyle c}$  akan memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan ${\displaystyle a}$  ke penjumlahan ${\displaystyle b}$  dan ${\displaystyle c}$ . Sifat ini dikenal sebagai sifat asosiatif.
• Jika ${\displaystyle a}$  adalah bilangan bulat, maka ${\displaystyle 0+a=a}$  dan ${\displaystyle a+0=a}$ . Nol disebut elemen identitas dari penambahan, sebab menambahkannya ke bilangan bulat akan tetap memberikan hasil bilangan bulat yang sama.
• Untuk setiap bilangan bulat ${\displaystyle a}$ , terdapat bilangan bulat ${\displaystyle b}$  sehingga ${\displaystyle a+b=0}$  dan ${\displaystyle b+a=0}$ . Bilangan bulat ${\displaystyle b}$  disebut elemen invers dari bilangan bulat ${\displaystyle a}$  dan dilambangkan dengan ${\displaystyle -a}$ .

Bilangan bulat dengan operasi ${\displaystyle +}$  membentuk objek matematika yang merupakan milik kelas yang luas yang membagi aspek struktural yang serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif, disajikanlah definisi di bawah berikut.

Definisi

Grup adalah suatu himpunan ${\displaystyle G}$  dengan operasi biner ${\displaystyle G}$ . Operasi biner tersebut dilambangkan sebagai ${\displaystyle \cdot }$ , yang menggabungkan dua elemen ${\displaystyle a}$  dan ${\displaystyle b}$  untuk membentuk elemen dari ${\displaystyle G}$ , dan bentuk elemen tersebut dilambangkan ${\displaystyle a\cdot b}$ . Akibatnya, suatu grup ${\displaystyle G}$  memenuhi tiga syarat di bawah, yang dikenal sebagai aksioma grup (group axiom):

Asosiatif
Untuk semua ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , dan ${\displaystyle c}$  dalam ${\displaystyle G}$ , maka ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .
Elemen identitas
Terdapat elemen ${\displaystyle e}$  dalam ${\displaystyle G}$ , sehingga untuk setiap ${\displaystyle a}$  dalam ${\displaystyle G}$ , maka ${\displaystyle e\cdot a=a}$  dan ${\displaystyle a\cdot e=a}$ . Elemen tersebut dikatakan tunggal (unique) (lihat di bawah), dan elemen itu disebut elemen identitas dari grup.
Elemen invers
Untuk setiap ${\displaystyle a}$  dalam ${\displaystyle G}$ , terdapat elemen ${\displaystyle b}$  dalam ${\displaystyle G}$  sehingga ${\displaystyle a\cdot b=e}$  dan ${\displaystyle b\cdot a=e}$ , dengan ${\displaystyle e}$  adalah elemen identitas. Untuk setiap ${\displaystyle a}$ , elemen ${\displaystyle b}$  adalah tunggal (lihat di bawah), dan elemen itu disebut sebagai invers dari ${\displaystyle a}$  dan biasanya dilambangkan ${\displaystyle a^{-1}}$ .

Notasi dan terminologi

Secara formal, grup adalah pasangan terurut yang terdiri atas suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan yang memenuhi aksioma grup. Himpunan itu disebut himpunan pendasar (underlying set) grup, dan operasi binernya disebut operasi grup atau hukum grup. Grup beserta himpunan pendasarnya merupakan dua objek matematika yang berbeda. Supaya menghindari notasi yang sulit dipahami, digunakanlah simbol yang sama untuk menyatakan kedua-duanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir yang informal, bahwa grup sama saja dengan himpunan tetapi diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi. Sebagai contoh, misalkan terdapat himpunan bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , yang memiliki operasi penjumlahan ${\displaystyle a+b}$  dan perkalian ${\displaystyle ab}$ . Secara formal, ${\displaystyle \mathbb {R} }$  adalah suatu himpunan, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$  adalah suatu grup, dan ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$  adalah suatu lapangan. Akan tetapi, biasanya ditulis sebagai ${\displaystyle \mathbb {R} }$  untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek tersebut.

Grup aditif dari lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$  adalah grup yang himpunan pendasarnya adalah ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , dan operasinya adalah penambahan. Sementara itu, grup perkalian dari lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$  adalah grup ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$  yang himpunan pendasarnya adalah himpunan bilangan real bukan nol ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$  dan operasinya adalah perkalian.

Secara umum, kita berbicara tentang grup aditif setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle 0}$ , dan invers dari elemen ${\displaystyle x}$  dilambangkan dengan ${\displaystyle -x}$ . Demikian pula, kita berbicara tentang grup perkalian setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle 1}$ , dan inversi elemen ${\displaystyle x}$  dilambangkan dengan ${\displaystyle x^{-1}}$ . Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, sehingga bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, yakni ${\displaystyle ab}$  sebagai pengganti ${\displaystyle a\cdot b}$ .

Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$  untuk semua elemen ${\displaystyle a}$  dan ${\displaystyle b}$  dalam ${\displaystyle G}$ . Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan komutatif, dan grup tersebut disebut grup abelian. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.

Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup di mana elemennya fungsi, operasi sering kali digunakan dalam komposisi fungsi ${\displaystyle f\circ g}$ ; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan id. Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup transformasi geometris, grup simetri, grup permutasi, dan grup automorfisme, simbol ${\displaystyle \circ }$  dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.

Definisi alternatif

Definisi ekuivalen dari grup terdiri dari penggantian bagian "ada" dari aksioma grup dengan operasi yang hasilnya adalah elemen yang harus ada. Jadi, grup adalah himpunan yang dilengkapi dengan tiga operasi, yaitu operasi biner yang merupakan operasi grup, operasi uner sebagai kebalikan dari operan tunggalnya, dan operasi nullari yang tidak memiliki operan dan menghasilkan elemen identitas. Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.

Varian definisi ini menghindari kuantifer eksistensial. Biasanya lebih sering digunakan untuk komputasi dengan grup dan untuk bukti bantuan komputer. Rumus ini menunjukkan grup sebagai variasi aljabar universal. Ini pula digunakan untuk membicarakan sifat operasi invers, sebagaimana diperlukan untuk mendefinisikan grup topologi dan objek grup.

Contoh kedua: grup simetri

Dua bangun pada bidang adalah kongruen jika bangun tersebut dapat diubah menjadi bangun yang lain menggunakan gabungan dari rotasi, refleksi, dan translasi. Setiap bangun kongruen dengan dirinya sendiri. Namun, beberapa bangun kongruen dengan sendiri dapat dilakukan dengan berbagai cara, dan kekongruenan tambahan tersebut dinamakan simetris. Persegi memiliki delapan simetri, yaitu:

• operasi identitas, yang berarti bangun tersebut tidak berubah, dan operasi ini dilambangkan dengan id;
• persegi di sekitar pusatnya diputar sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, yang dilambangkan dengan ${\displaystyle r_{1}}$ , ${\displaystyle r_{2}}$  dan ${\displaystyle r_{3}}$ ;
• refleksi (cermin) terhadap garis tengah horizontal dan vertikal (${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$  dan ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ , atau terhadap dua garis diagonal (${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$  dan ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ ).

Elemen dari grup simetri persegi, ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ . Titik sudutnya dinyatakan dengan warna ataupun bilangan.

 

id, persegi tetap tidak berubah

 

${\displaystyle r_{1}}$ , persegi berputar 90° searah jarum jam

 

${\displaystyle r_{2}}$ , persegi berputar 180° searah jarum jam

 

${\displaystyle r_{3}}$ , persegi berputar 270° searah jarum jam

 

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ , persegi cermin terhadap garis vertikal

 

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ , persegi cermin terhadap garis horizontal

 

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ , persegi cermin terhadap garis diagonal

 

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ , persegi cermin terhadap kontra-diagonal

Simetri diatas adalah fungsi. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh, r₁ untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan f_h untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. Komposisi dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut grup dihedral dengan derajat 4, dilambangkan D₄. Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah komposisi fungsi. Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali a dan kemudian b ditulis secara simbolis dari kanan ke kiri sebagai ${\displaystyle b\circ a}$  ("terapkan simetri b setelah melakukan simetri a"). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.

Tabel grup di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam (r₃) dan kemudian merefleksikan secara horizontal (f_h) sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal (f_d). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$ 

Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.

Komposisi adalah operasi biner. Artinya, ${\displaystyle a\circ b}$  adalah simetri untuk dua simetri a dan b. Sebagai contoh,

${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$ 

yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal (f_c). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.

Aksioma asosiatif berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen a, b dan c dari D₄, Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis a dan b menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan c. Cara lainnya adalah dengan menulis b dan c, kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan a. Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$ 

Sebagai contoh, ${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$  dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$ 

Elemen identitas adalah id, karena tidak mengubah simetri a saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.

Semua simetri memiliki kebalikan: is, pantulan f_h, f_v, f_d, f_c dan rotasi 180° r₂ adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi r₃ dan r₁ adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.

Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, di mana urutan operasinya tidak relevan, D₄, misalnya ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$  but ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$  Dengan kata lain, D₄ bukan abelian.

Konsep grup abstrak yang modern dikembangkan dari beberapa cabang matematika. Asal-usul teori grup berawal dari ketika menyelesaikan persamaan polinomial dengan derajat yang lebih dari 4. Matematikawan berkebangsaan Pranci abad ke-19, Évariste Galois, memperluas karya Paolo Ruffini dan Joseph-Louis Lagrange dengan memberikan kriteria untuk solvabilitas dari suatu persamaan polinomial khusus dalam grup simetri dari (penyelesaian) akarnya. Elemen dari grup Galois tersebut bersesuaian dengan permutasi dari akar tertentu. Awalnya, gagasan milik Galois ditolak oleh beberapa matematikawan pada masa itu, dan gagasan miliknya kemudian diterbitkan setelah kematiannya. Grup permutasi yang lebih umum diteliti lebih lanjut oleh Augustin Louis Cauchy. Dalam makalahnya yang berjudul On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$  (1854), ia memberikan definisi abstrak pertama mengenai grup terhingga.

Geometri adalah cabang kedua yang menggunakan grup secara sistematik, terutama grup simetri yang merupakan bagian dari program Erlangen milik Felix Klein di tahun 1872. Setelah munculnya cabang-cabang geometri baru seperti geometri hiperbolik dan geometri proyektif, Klein menggunakan teori grup untuk menyusunnya supaya terlihat mudah dimengerti. Berlanjut saat memperluas gagasan tersebut, Sophus Lie menemukan kajian grup Lie di tahun 1884.

Cabang ketiga yang menyumbangkan teori grup adalah teori bilangan. Struktur-struktur grup abelian tertentu telah digunakan dalam karya Carl Friedrich Gauss yang berjudul Disquisitiones Arithmeticae (1798). Leopold Kronecker juga menggunakan struktur tersebut tetapi dijelaskan dengan lebih detail. Pada tahun 1847, Ernst Kummer mencoba membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan mengembangkan grup yang menjelaskan faktorisasi menjadi bilangan prima.

Konvergensi dari berbagai sumber tersebut menjadi teori grup yang berseragam berawal dari karya milik Camille Jordan yang berjudul Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) memperkenalkan gagasan yang menjelaskan grup menggunakan pembangkit (generator) dan relasi. Karyanya juga merupakan karya yang pertama kali memberikan definisi aksiomatik dari "grup abstrak". Hingga pada abad ke-20, grup mendapatkan banyak perhatian dari karya perintis milik Ferdinand Georg Frobenius dan William Burnside yang membahas tentang teori representasi dari grup terhingga, karya Richard Brauer yang membahas tentang teori representasi modular dan karya milik Issai Schur. Teori grup Lie, dan lebih umumnya adalah grup kompak lokal (locally compact group) dikaji oleh Hermann Weyl, Élie Cartan dan banyak matematikawan lainnya. Pasangan teorinya, teori grup aljabar, dikembangkan oleh Claude Chevalley di akhir tahun 1930-an, dan kemudian dilanjutkan oleh Armand Borel dan Jacques Tits.

Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam teori grup elementer. Sebagai contoh, penerapan aksioma asosiatif yang berulang menunjukkan bahwa notasi yang rtidak ambigu dari

$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

 

Aksioma yang terpisah dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan identitas kiri dan invers kiri. Berdasarkan ''aksioma sepihak'' ini, dapat dibuktikan bahwa identitas kiri juga merupakan identitas kanan, dan begitupula untuk invers kiri yang juga merupakan invers kanan untuk elemen yang sama. Karena identitas beserta inversnya mendefinisikan struktur yang sama seperti grup, aksioma tersebut tidak menjadi lemah.

Ketunggalan dari elemen identitas

Aksioma grup mengimplikasikan bahwa elemen identitas adalah tunggal: jika ${\displaystyle e}$  dan ${\displaystyle f}$ adalah elemen identitas dari suatu grup, maka ${\displaystyle e=e\cdot f=f}$ . Oleh karena itu, sangat lazim untuk membahas mengenai identitas.

Ketunggalan dari invers

Aksioma grup mengimplikasikan bahwa invers (atau kebalikan) dari setiap elemen adalah tunggal: jika elemen grup ${\displaystyle a}$  memiliki ${\displaystyle b}$  dan ${\displaystyle c}$  yang merupakan invers, maka

${\displaystyle b}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle b\cdot e}$		karena ${\displaystyle e}$  adalah elemen identitas
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle b\cdot (a\cdot c)}$		karena ${\displaystyle c}$  adalah invers dari ${\displaystyle a}$ , sehingga ${\displaystyle e=a\cdot c}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle (b\cdot a)\cdot c}$		berdasarkan sifat asosiatif, yang memungkinkan penyusunan ulang tanda kurung
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle e\cdot c}$		karena ${\displaystyle b}$  adalah invers dari ${\displaystyle a}$ , sehingga ${\displaystyle b\cdot a=e}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle c}$		karena ${\displaystyle e}$  adalah elemen identitas.

Oleh karena itu, sangat lazim untuk membahas mengenai invers dari suatu elemen.

Pembagian

Diberikan elemen ${\displaystyle a}$  dan ${\displaystyle b}$  dari grup ${\displaystyle G}$ , maka terdapat solusi tunggal ${\displaystyle x}$  dalam ${\displaystyle G}$  untuk persamaan ${\displaystyle a\cdot x=b}$ , yaitu ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ . (Biasanya notasi seperti ${\displaystyle b/a}$  dihindari , kecuali jika ${\displaystyle G}$  adalah abelian, karena notasi tersebut dapat berarti ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$  atau ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$ .) Oleh karena itu, untuk setiap ${\displaystyle a}$  dalam ${\displaystyle G}$ , fungsi ${\displaystyle G\to G}$  yang memetakan ${\displaystyle x\to a\cdot x}$  adalah bijektif; itu disebut perkalian kiri dengan ${\displaystyle a}$  atau translasi kiri dengan ${\displaystyle a}$ . Dengan cara yang serupa, diberikan ${\displaystyle a}$  dan ${\displaystyle b}$ , maka solusi tunggal untuk ${\displaystyle x\cdot a=b}$  adalah ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$ . Untuk setiap ${\displaystyle a}$ , fungsi elemen ${\displaystyle a}$  dan ${\displaystyle b}$  yang memetakan ${\displaystyle x\to x\cdot a}$  adalah bijektif yang disebut perkalian kanan dengan ${\displaystyle a}$  atau translasi kanan dengan ${\displaystyle a}$ .