Teorema Terakhir Fermat

Teorema ini mengatakan:

Teorema Terakhir Fermat

Edisi 1670 dari Diophantus 's' 'Arithmetica' 'termasuk komentar Fermat, yang disebut sebagai "Last Theorem" (Observatio Domini Petri de Fermat), diterbitkan secara anumerta oleh putranya.
Cabang	Teori bilangan
Pertama kali dinyatakan oleh	Pierre de Fermat
Pertama kali dinyatakan pada	c. 1637
Pertama kali dibuktikan oleh	Andrew Wiles
Pertama kali dibuktikan pada	Released 1994, published 1995

“

Untuk semua bilangan bulat ${\displaystyle n>2}$, tidak ada bilangan bulat positif ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ yang memenuhi persamaan ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$.

”

Pada tahun 1637, Fermat menulis teorema tersebut pada pinggiran salah satu halaman bukunya. Ia mengklaim telah menemukan bukti dari teori tersebut, hanya saja ia tidak bisa menuliskannya karena pinggiran halaman bukunya tidak muat lagi. Akan tetapi, selama 357 tahun berikutnya, para matematikawan dunia tidak dapat membuktikannya, dan teorema ini menjadi salah satu teka-teki terbesar dalam matematika. Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris bernama Andrew Wiles berhasil membuktikan kebenaran teorema ini.

Pencetusan oleh Fermat

Sekitar tahun 1637, Fermat menulis teorema tersebut pada pinggiran salah satu halaman buku Arithmetica (karangan Diophantus) miliknya, yang artinya:

Namun, tidak diketahui apakah Fermat benar-benar menemukan bukti untuk semua pangkat ${\displaystyle n}$ . Satu-satunya bukti Fermat tentang itu yang masih bertahan adalah bukti untuk ${\displaystyle n=4}$ .

Bukti untuk pangkat tertentu

Untuk bilangan pangkat 4

Kasus untuk bilangan pangkat ${\displaystyle 4}$  dibuktikan oleh Fermat sendiri. Ia menggunakan teknik infinite descent untuk membuktikan bahwa persamaan ${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$  tidak memiliki solusi primitif (solusi dengan ${\displaystyle x,y,z}$  tiap pasangnya relatif prima). Hal tersebut mengakibatkan Teorema Fermat Terakhir berlaku untuk ${\displaystyle n=4}$ , karena persamaan ${\displaystyle a^{4}+b^{4}=c^{4}}$  bisa ditulis ${\displaystyle c^{4}-b^{4}=(a^{2})^{2}}$ .

Bilangan pangkat lain

Setelah Fermat membuktikan kasus ${\displaystyle n=4}$ , tersisa untuk membuktikan kasus bahwa ${\displaystyle n}$  prima ganjil. Dengan kata lain, tersisa untuk membuktikan bahwa persamaan ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$  tidak memiliki solusi bulat ${\displaystyle (a,b,c)}$  jika ${\displaystyle n}$  bilangan prima yang ganjil. Hal ini karena jika ada suatu solusi ${\displaystyle (a,b,c)}$  untuk pangkat ${\displaystyle n}$ , maka ada solusi untuk pangkat semua faktor positif ${\displaystyle n}$ .

Sebagai contoh, misalkan ${\displaystyle n=de}$ , dengan ${\displaystyle d}$  dan ${\displaystyle e}$  faktor ${\displaystyle n}$ . Maka, ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$  ekuivalen dengan ${\displaystyle (a^{d})^{e}+(b^{d})^{e}=(c^{d})^{e}}$ . Jadi, ada solusi untuk pangkat ${\displaystyle e}$  yang merupakan faktor ${\displaystyle n}$ .

Jadi, untuk membuktikan bahwa persamaan Fermat tidak memiliki solusi untuk ${\displaystyle n>2}$ , cukup untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi untuk faktor prima manapun dari setiap ${\displaystyle n}$ . Setiap bilangan bulat ${\displaystyle n>2}$  habis dibagi ${\displaystyle 4}$  atau bilangan prima ganjil (atau keduanya). Jadi, Teorema Terakhir Fermat bisa dibuktikan untuk semua ${\displaystyle n}$  jika bisa dibuktikan untuk ${\displaystyle n=4}$  dan semua ${\displaystyle n=p}$  dengan ${\displaystyle p}$  prima ganjil.

Hubungan dengan kurva eliptik

Strategi yang pada akhirnya menghasilkan bukti Teorema Terakhir Fermat muncul dari Konjektur Taniyama-Shimura-Weil (sekarang bernama teorema modularitas (Inggris: modularity theorem)), yang dicetuskan sekitar 1955. Pada tahun 1980-an, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, dan Ken Ribet menghubungkan konjektur tersebut dengan persamaan yang dicetuskan Fermat. Dengan menemukan bukti sebagian dari konjektur tersebut pada 1994, Andrew Wiles akhirnya berhasil membuktikan Teorema Terakhir Fermat.

Konjektur Taniyama-Shimura-Weil

Sekitar 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengamati kemungkinan hubungan antara dua bidang berbeda dalam matematika, yaitu kurva eliptik dan bentuk modular. Mereka mencetuskan suatu konjektur yang disebut Konjektur Taniyama-Shimura-Weil, yang menyatakan bahwa setiap kurva eliptik bersifat modular, yang berarti ia bisa dihubungkan dengan tepat satu bentuk modular.

Teorema Ribet untuk kurva Frey

Dalam 1984, Gerhard Frey mengamati suatu hubungan antara persamaan Fermat dan Konjektur Taniyama-Shimura-Weil (sekarang bernama teorema modularitas). Jika persamaan Fermat memiliki solusi ${\displaystyle (a,b,c)}$  untuk pangkat ${\displaystyle p>2}$ , maka dapat ditunjukkan bahwa kurva eliptik semistabil

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$  (yang sekarang disebut kurva Frey)

memiliki sifat-sifat yang tidak biasa, sehingga Frey menduga bahwa kurva eliptik tersebut tidak modular. Hal ini berlawanan dengan teorema modularitas yang menyatakan bahwa semua kurva eliptik bersifat modular. Oleh karena itu, jika teorema modularitas berhasil dibuktikan, maka Teorema Terakhir Fermat mungkin juga terbukti.

Mengikuti strategi ini, sebuah bukti Teorema Terakhir Fermat membutuhkan dua langkah. Pertama, membuktikan teorema modularitas, setidaknya untuk kurva eliptik semistabil. Kedua, menunjukkan bahwa dugaan Frey benar: jika suatu kurva eliptik dibuat dengan cara ini, dengan bilangan-bilangan yang merupakan solusi persamaan Fermat, maka kurva eliptik yang dihasilkan tidak modular. Hal ini disebut konjektur epsilon (Inggris: epsilon conjecture). Pada 1986, konjektur ini dibuktikan oleh Ken Ribet, dan sekarang disebut sebagai Teorema Ribet (Inggris: Ribet's theorem).

Bukti umum oleh Wiles

Setelah mendengar keberhasilan Ribet membuktikan Teorema Ribet, Andrew Wiles, seorang matemtikawan Inggris, memutuskan untuk menyelesaikan langkah berikutnya: membuktikan teorema modularitas untuk kurva eliptik semistabil.

Pada tahun 1993, Wiles merasa telah meyelesaikan bukti Teorema Terakhir Fermat. Namun, kemudian ditemukan suatu kesalahan dalam bukti Wiles. Sekitar satu tahun kemudian, pada 1994 Wiles berhasil memperbaiki buktinya. Pada akhirnya, Teorema Terakhir Fermat terbukti, 357 tahun setelah dicetuskan.

Teorema Terakhir Fermat mempertimbangkan solusi untuk persamaan Fermat: aⁿ + bⁿ = cⁿ with bilangan bulat positif a, b, dan c dan bilangan bulat n lebih besar dari 2. Ada beberapa generalisasi dari persamaan Fermat ke persamaan yang lebih umum yang memungkinkan adanya eksponen n menjadi bilangan bulat negatif atau rasional, atau untuk mempertimbangkan tiga eksponen berbeda.

Persamaan Fermat Umum

Persamaan Fermat menggeneralisasi pernyataan teorema terakhir Fermat dengan mempertimbangkan solusi bilangan bulat positif a, b, c, m, n, k sebagai bilangan yang memuaskan

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}.}$

()

Secara khusus, bilangan beksponen m, n, k tidak seharusnya sama, sedangkan teorema terakhir Fermat mempertimbangkan kasus bilangan bulat tersebut m = n = k.

Dugaan Beal, atau dikenal juga sebagai dugaan Mauldin dan dugaan Tijdeman-Zagier, menyatakan bahwa tidak ada solusi untuk persamaan Fermat umum dalam bilangan bulat positif a, b, c, m, n, k karena a, b, dan c menjadi koprima berpasangan dan semua m, n, k lebih besar dari 2.

Konjektur Fermat–Catalan menggeneralisasi teorema terakhir Fermat dengan ide-ide dari konjektur Catalan. Dugaan tersebut menyatakan bahwa persamaan Fermat yang digeneralisasi hanya memiliki solusi ``hasil tak hingga (a, b, c, m, n, k) dengan triplet nilai yang berbeda (am, bn, ck), dimana a, b, c adalah bilangan bulat koprima positif dan m , n , k adalah bilangan bulat positif yang memuaskan

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$

()

Pernyataan tersebut tentang keterbatasan himpunan solusi karena ada 10 solusi yang diketahui.

Persamaan Fermat Invers

Ketika kita mengizinkan eksponen n menjadi kebalikan dari bilangan bulat, yaitu n = 1/m untuk beberapa bilangan bulat m , kita memiliki persamaan Fermat invers ${\displaystyle a^{1/m}+b^{1/m}=c^{1/m}.}$  Semua solusi persamaan ini dihitung oleh Hendrik Lenstra pada tahun 1992. Dalam kasus di mana akar m ^th harus nyata dan positif, semua solusi diberikan oleh

${\displaystyle a=rs^{m}}$ 
${\displaystyle b=rt^{m}}$ 
${\displaystyle c=r(s+t)^{m}}$ 

untuk bilangan bulat positif r, s, t dengan s dan t koprima.

Eksponen rasional

Untuk persamaan Diophantine ${\displaystyle a^{n/m}+b^{n/m}=c^{n/m}}$  dengan n tidak sama dengan 1, Bennett, Glass, dan Székely membuktikan pada tahun 2004 untuk n > 2, bahwa jika n dan m koprima, maka ada solusi bilangan bulat jika dan hanya jika 6 membagi m , dan ${\displaystyle a^{1/m}}$ , ${\displaystyle b^{1/m},}$  dan ${\displaystyle c^{1/m}}$  adalah akar kompleks keenam yang berbeda dari bilangan riil yang sama.

Eksponen bilangan bulat negatif

n = −1

Semua solusi bilangan bulat primitif (yaitu, solusi tanpa faktor prima yang sama untuk semua a, b, dan c) ke persamaan optik ${\displaystyle a^{-1}+b^{-1}=c^{-1}}$  dapat ditulis sebagai

${\displaystyle a=mk+m^{2},}$ 
${\displaystyle b=mk+k^{2},}$ 
${\displaystyle c=mk}$ 

untuk bilangan bulat positif pada koprima m, k.

n = −2

Kasus selanjutnya n = −2 juga memiliki solusi tak terhingga, dan ini memiliki interpretasi geometris dalam istilah segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat dan ketinggian bilangan bulat ke sisi miring. All primitive solutions to ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$  maka rumus nya ialah

${\displaystyle a=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2}),}$ 
${\displaystyle b=2uv(v^{2}+u^{2}),}$ 
${\displaystyle d=2uv(v^{2}-u^{2}),}$ 

untuk bilangan bulat koprima u , v dengan v > u. Interpretasi geometrisnya adalah bahwa a dan b adalah kaki bilangan bulat dari segitiga siku-siku dan d adalah ketinggian bilangan bulat ke sisi miring. Kemudian sisi miring itu sendiri adalah bilangan bulat

${\displaystyle c=(v^{2}+u^{2})^{2},}$ 

demikian (a, b, c) adalah Triple Pythagoras.

n < −2

Tidak ada solusi dalam bilangan bulat untuk ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$  untuk bilangan bulat n < −2. Bila ada, persamaan dapat dikalikan dengan ${\displaystyle a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|}}$  untuk memperoleh ${\displaystyle (bc)^{|n|}+(ac)^{|n|}=(ab)^{|n|}}$ , which is mustahil oleh Teorema Terakhir Fermat.

dugaan abc

Dugaan abc secara kasar menyatakan bahwa jika tiga bilangan bulat positif a, b dan c (karena itu namanya) adalah koprime dan memuaskan a + b = c, maka radikal d dari abc biasanya tidak lebih kecil dari c. Secara khusus, konjektur abc dalam formulasi paling standarnya menyiratkan teorema terakhir Fermat untuk n yang cukup besar. konjektur Szpiro yang dimodifikasi setara dengan konjektur abc dan oleh karena itu memiliki implikasi yang sama. Versi efektif dari dugaan abc, atau versi efektif dari dugaan Szpiro yang dimodifikasi, menyiratkan Teorema Terakhir Fermat secara langsung..

 

Pada tahun 1816, dan lagi pada tahun 1850, Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis menawarkan hadiah untuk bukti umum Teorema Terakhir Fermat. Pada tahun 1857, Akademi memberikan 3.000 franc dan medali emas kepada Kummer untuk penelitiannya tentang angka-angka ideal, meskipun dia belum mengirimkan entri untuk hadiah tersebut. Hadiah lain ditawarkan pada tahun 1883 oleh Akademi Brussel.

Pada tahun 1908, industrialis dan matematikawan amatir Jerman Paul Wolfskehl mewariskan 100.000 tanda emas sejumlah besar pada saat dan diberikan kepada Göttingen Academy of Sciences untuk menawarkan sebagai hadiah atas bukti lengkap Teorema Terakhir Fermat. Pada 27 Juni 1908, Akademi menerbitkan sembilan aturan pemberian hadiah. Antara lain, aturan ini mengharuskan bukti dipublikasikan dalam jurnal peer-review; hadiah tidak akan diberikan sampai dua tahun setelah publikasi; dan bahwa tidak ada hadiah yang akan diberikan setelah 13 September 2007, kira-kira satu abad setelah kompetisi dimulai. Wiles collected the Hadiah uang Wolfskehl, senilai $50.000, pada 27 Juni 1997. Pada bulan Maret 2016, Wiles dianugerahi Hadiah Abel dari pemerintah Norwegia senilai €600.000 untuk "bukti menakjubkan dari Teorema Terakhir Fermat melalui dugaan modularitas untuk eliptik semistabel."

Sebelum bukti Wiles, ribuan bukti yang tidak benar telah diserahkan kepada komite Wolfskehl, yang berjumlah kira-kira 10 kaki (3 meter) korespondensi. Pada tahun pertama saja (1907–1908), 621 percobaan bukti telah diserahkan, meskipun pada tahun 1970-an, tingkat pengajuan telah menurun menjadi sekitar 3–4 percobaan bukti per bulan. Menurut F. Schlichting, reviewer Wolfskehl, sebagian besar bukti didasarkan pada metode dasar yang diajarkan di sekolah, dan sering diajukan oleh "orang dengan pendidikan teknis tetapi karirnya gagal". Dalam kata-kata sejarawan matematika Howard Eves, "Teorema Terakhir Fermat memiliki perbedaan yang khas sebagai masalah matematika yang memiliki jumlah terbesar dari bukti salah".

Dalam The Simpsons episode "The Wizard of Evergreen Terrace," Homer Simpson menulis persamaan

${\displaystyle 3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}}$ 

di papan tulis, yang tampaknya merupakan contoh berlawanan dengan Teorema Terakhir Fermat. Persamaan yang salah, tetapi tampaknya benar jika dimasukkan dalam kalkulator dengan 10 angka penting.

• Dugaan abc
• Dugaan Beal
• Diofantin II.VIII
• Jumlah perkiraan kekuatan Euler
• Dugaan Fermat–Catalan
• Teorema Modularitas
• Bukti ketidakmungkinan
• Triple Pythagoras
• Prima Sophie Germain
• Jumlah kekuatan, daftar dugaan dan teorema terkait
• Prima Dinding–Matahari–Matahari