Последна Фермаова Теорема: теорема за броевите

Таа тврди дека:

Не постојат позитивни цели броеви a, b, и c такви што ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}\;}$ каде n е природен број поголем од 2.

Математичарот од 17 век Пјер де Ферма пишувал за оваа теорема во 1637 година во својата копија на преводот на познатата Диофантова Аритметика од Клод-Гаспар Баше: „Открив навистина неверојатен доказ на оваа теорема кој не може да го собере на маргината на оваа страница“. (Оригинал латински: „Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.“) Без оглед на тоа, ниеден коректен доказ не бил пронајден следните 357 години.

Ова тврдење е значајно бидејќи сите други Фермаови теореми биле втемелени, или со помош на доказ кој тој го дал, или со помош на докази кои биле пронајдени подоцна. Теоремата не е последна која Ферма ја дал, туку последна која требало да биде докажана. Теоремата се смета за математичка поставка која предизвикала најголем број неточни математички докази.

Последната Фермаова теорема е обопшување на Диофантовата равенка a² + b² = c², која е поврзана со Питагорината теорема. Старите Грци и Вавилонците знаеле дека оваа равенка има решенија, како што се (3,4,5) (3² + 4² = 5²) или (5,12,13). Овие решенија се познати како Питагорини тројки.

Додека теоремата сама по себе нема директна употреба (не се користи како доказ ниту во една друга теорема), било покажано дека е поврзана со други математички теми.

Теоремата треба да се докаже за n=4 и за случај кога n е прост број. Уште одамна било докажано дека теоремата важи за некои специјални случаи за n, но општиот случај останал недофатлив.

Самиот Ферма го докажал случајот за n=4, додека Ојлер ја докажал теоремата за n=3. Случајот за n=5 го докажале Дирихле и Лежандр во 1825 година, а случајот за n=7 Габриел Ламе во 1839 година.

Герд Фалтингс во 1983 година ја докажал Морделовата претпоставка дека за секое n > 2 постојат конечно многу заемно прости броеви a, b и c такви да важи aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Користејќи софистицирани алатки на алгебарската геометрија (особено елипсести криви и модуларни форми), теоријата на Гало и Хека алгебра, англискиот математичар Ендру Вајлс (Andrew Wiles), од Универзитетот Принстон, со помош на својот бивш студент Ричар Тејлор, го извел доказот на последната Фермаова последна теорема и го објавил во 1995 година во магазинот Annals of Mathematics.

Кен Рибет во 1986 година ја докажал Герхард Фрејевата епсилон претпоставка дека секој противпример aⁿ + bⁿ = cⁿ на последната Фермаова теорема води кон елипсеста крива дефинирана со:

${\displaystyle y^{2}=x\cdot (x-a^{n})\cdot (x+b^{n}),}$ 

што дава противпример на претпоставката на Танијам-Шимур.

Последната претпоставка нуди длабока врска меѓу елипсестите криви и модуларните форми.

Вајлс и Тејлор успеале да докажат еден посебен случај на претпоставката на Танијам-Шимур доволен да ги исклучи таквите противпримери кои произлегуваат од последната Фермаова теорема.

Приказната за доказот е интересна колку и мистеријата која ја следи самата теорема. Вајлс провел седум години разработувајќи ги сите детали самостојно во апсолутна тајност (освен завршната фаза на преглед за што побарал помош од Ник Кац, колега од Принстон). Кога го објавил доказот на три предавања одржани на Кембриџ од 21 до 23 јуни 1993 година, ги зачудил слушателите со бројот на идеи и конструкции во својот доказ. За жал, со подетална проверка била пронајдена сериозна грешка која го срушила првичниот доказ. Вајлс и Тејлор потоа поминал година дена во барање на нов пат кон доказот. Во септември 1994 година, доказот бил повторно објавен со донекаде изменета техника во однос на користените во првиот обид.

Цитат на латинском:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos,
et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum patestatem in duos euisdem
nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exigitas non caperet.

(Невозможно е да се раздвои куб на два куба, или
четврт степен на два четврта степена, или обопштено,
кој било степен поголем од два на исти такви два.
Открив навистина преубав доказ за ова,
но не најдов место на маргинава, па не го напишав овде.)

Постојат значајни сомнежи во Фермаовата изјава „ Открив навистина преубав доказ“. Доказот на Вајлс е долг 200 страни и неговото разбирање изискува знаења вон досегот на многу денешни математичари. Можно е дека постои доказ кој е значително пократок и користи поелементарни методи. Обично првите докази не се ниту најкратки, ниту најдиректни.

Методите кои ги користел Вајлс биле непознати во времето на Ферма и многумина веруваат дека е малку веројатно дека Ферма успеал да ги изведе сите неопходни предуслови за изведување на доказот. Според зборовите на Ендрју Вајлс: „Тоа е невозможно, ова е доказ на 20 век“. Алтернатива е дека постои поедноставен доказ кој сите математичари досега го превидели или Ферма погрешил.

Се претпоставува дека Ферма извел погрешен, но наизглед прифатлив доказ. Изведен од погрешна претпоставка дека постои единствена факторизација во сите прстени со природни броеви во полињата на алгебарските броеви. Ова е прифатливо објаснување за многу стручњаци во теоријата на броеви, врз основа на тоа што многу исклучителни математичари од оваа област следеле сличен пат.

Фактот што Ферма никогаш не го објавил овој доказ, ниту јавно објавил дека го има, наведува дека подоцна размислил и едноставно ја занемарил личната белешка на маргинит ена книгата. Подоцна, во текот на својот живот, Ферма го објавил доказот за случајот

${\displaystyle a^{4}+b^{4}=c^{4}}$ .

Ако навистина дошол до доказ за општата теорема, малку е веројатно дека би објавувал доказ само за посебен случај. Сепак, академските конвенции во негово време не били исти како оние после половината на 18 век. Затоа овој аргумент не може да се земе како конечен.

Во епизодата "The Royale", од серијалот Ѕвездени патеки: Следна генерација, капетанот Пикард наведува дека теоремата не е решена 800 години. Вајлс го објавил доказот пет години по емитувањето на оваа епизода. Потоа во другиот серијал на Ѕвездени патеки: Длабо семир Девет во епизодата Facets од јуни 1995 година, ликот Џадза Дакс коментира дека е нешто најоригинален пристап на докажувањето уште од Вајлс, пред 300 години. Ова љубителите го сфаќаат како суптилна исправка на претходниот пропуст. Се појавува и во една епизода од британската серија Доктор Ху.

• Постојат бесконечно многу природни броеви a, b, и c такви што ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n+1}\;}$  каде n е природен број.
• Ако n не е прост број ни 4, тој има барем еден делител кој е помал од n а поголем од 2. Нека p е таков делител, и нека m е еднаков на n/p. Сега равенката може да се напише како ${\displaystyle (a^{m})^{p}+(b^{m})^{p}=(c^{m})^{p}}$ . Ако може да се докаже случајот за степен p, степенот n е едноставно подмножество на претходниот случај.

• Ојлерова претпоставка
• Мала Фермаова теорема
• Софи Жермен прости броеви
• Вол-Сун-Сун прости броеви