Matematika Peluang

Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tetapi juga keuangan, sains dan filsafat.

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya sepasang kambing melahirkan seekor sapi.

Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Sebagai contoh, peluang untuk tidak munculnya mata dadu enam bila sebuah dadu bersisi enam digulirkan adalah ${\displaystyle 1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}}$ 

Dua kejadian ${\displaystyle A}$  dan ${\displaystyle B}$  dikatakan saling bebas apabila

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (B)}$ .

atau

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (B)\Leftrightarrow \mathrm {P} (A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}=\mathrm {P} (A\mid B)}$ .

setaranya

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (B)\Leftrightarrow \mathrm {P} (B)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (A)}}=\mathrm {P} (B\mid A)}$ .

Kejadian majemuk

Gabungan dua kejadian
${\displaystyle \mathrm {P} (A\cup B)=\mathrm {P} (A)+\mathrm {P} (B)-\mathrm {P} (A\cap B)}$ 

Kejadian saling lepas
${\displaystyle \mathrm {P} (A\cup B)=\mathrm {P} (A)+\mathrm {P} (B)}$ 

Kejadian saling bebas
${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (B)}$ 

Kejadian bersyarat

${\displaystyle \mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}}$  dimana P(B) ≠ 0
${\displaystyle \mathrm {P} (B\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (A)}}}$  dimana P(A) ≠ 0

Rumus frekuensi harapan sebagai berikut:

${\displaystyle \mathrm {F} (A)=\mathrm {n} (A)\cdot \mathrm {P} (A)}$ .

Contoh
1. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola hitam. Tiga bola diambil sekaligus dari dalam kotak secara acak. Berapakah peluang bahwa bola yang terambil adalah 2 bola merah dan 1 bola hitam?

${\displaystyle P={\frac {C_{2}^{5}\,C_{1}^{3}}{C_{3}^{12}}}={\frac {{\frac {5!}{2!\,3!}}\,{\frac {3!}{1!\,2!}}}{\frac {12!}{3!\,9!}}}={\frac {3}{22}}}$ 

1. Seorang pedagang telur memiliki 20 butir telur yang diletakkan didalam peti. Karena kurang berhati-hati, 2 butir telur pecah. Jika 2 butir telur diambil secara acak. Berapa peluang terambilnya salah satu telur yang pecah?

${\displaystyle P={\frac {C_{1}^{2}\,C_{1}^{18}}{C_{2}^{20}}}={\frac {{\frac {2!}{1!\,1!}}\,{\frac {18!}{1!\,17!}}}{\frac {20!}{2!\,18!}}}={\frac {18}{95}}}$ 

1. Dalam sebuah keranjang terdapat 7 bola merah, 5 bola biru dan 8 bola hitam. Jika diambil 3 bola secara acak dengan syarat bola yang diambil dikembalikan lagi ke dalam keranjang, berapa peluang bahwa bola yang terambil secara berturut-turut berwarna merah, hitam dan biru?

${\displaystyle P={\frac {7}{20}}\,{\frac {8}{20}}\,{\frac {5}{20}}={\frac {7}{200}}}$ 

1. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 6 bola hijau dan 4 bola kuning. Jika diambil 3 bola secara acak tanpa pengembalian, berapakah peluang bola yang terambil secara berturut-turut adalah merah, hijau, kuning?

${\displaystyle P={\frac {5}{15}}\,{\frac {6}{14}}\,{\frac {4}{13}}={\frac {4}{91}}}$ 

1. Dua buah dadu dilempar undi bersama satu kali. Berapakah peluang muncul jumlah kedua mata dadu 4 atau 7?
${\displaystyle \mathrm {P} (4)={\frac {3}{6^{2}}}\,={\frac {3}{36}}\,}$ 
${\displaystyle \mathrm {P} (7)={\frac {6}{6^{2}}}\,={\frac {6}{36}}\,}$ 
${\displaystyle \mathrm {P} (4\cup 7)=\mathrm {P} (4)+\mathrm {P} (7)={\frac {3}{36}}\,+{\frac {6}{36}}\,={\frac {1}{4}}}$ 

1. Satu set kartu dimainkan satu kali. Berapakah peluang muncul kartu bergambar?
${\displaystyle \mathrm {P} (Gambar)={\frac {12}{52}}\,={\frac {3}{13}}\,}$ 

1. Dua koin dilempar satu kali. Berapakah peluang muncul koin bergambar?
${\displaystyle \mathrm {P} (Gambar)={\frac {1}{2^{2}}}\,={\frac {1}{4}}\,}$ 

1. Ada sekelompok terdiri dari 3 anak. Berapakah peluang muncul lebih dari satu anak laki-laki?
${\displaystyle \mathrm {P} (2L\cap 1P)={\frac {3}{2^{3}}}={\frac {3}{8}}}$ 
${\displaystyle \mathrm {P} (3L)={\frac {1}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}}$ 
${\displaystyle \mathrm {P} (>1L)=\mathrm {P} (2L\cap 1P)+\mathrm {P} (3L)={\frac {3}{8}}\,+{\frac {1}{8}}\,={\frac {1}{2}}}$ 

• Teori peluang