Verjetnost

Verjetnost je temeljni pojem matematične panoge, ki se imenuje verjetnostni račun.

Verjetnost dogodka A se označi s P(A). Črka P izvira iz latinščine probabilitas – verjetnost.

Obstaja več matematičnih definicij verjetnosti.

Klasična definicija

Naj je verjetnostni poskus, ki ima n med seboj enakovrednih izidov (enakovrednost izidov pomeni, da se vsi izidi pojavijo približno enako pogosto, če se poskus ponovi večkrat). Opazuje se dogodek A, za katerega je ugodnih m izidov. Po klasični definiciji je verjetnost dogodka A razmerje med številom ugodnih izidov in številom vseh možnih izidov:

${\displaystyle P(A)={\frac {m}{n}}={\frac {\rm {{\check {s}}tevilo~ugodnih~izidov}}{\rm {{\check {s}}tevilo~vseh~izidov}}}\!\,.}$ 

Zgled: v nekem mestu živi 6850 prebivalcev. Trenutno je v tem mestu 822 prebivalcev okuženih z virusom gripe. Kolikšna je verjetnost, da je na slepo izbrani prebivalec tega mesta okužen z virusom gripe?

${\displaystyle P(A)={\frac {822}{6850}}\!\,.}$ 

Rezultat se po navadi še okrajša, ali pa se ga zapiše v decimalni obliki ali v obliki procentov:

${\displaystyle P(A)={\frac {822}{6850}}={\frac {3}{25}}=0,12=12\ \%\!\,.}$ 

Definicija s teorijo mere

V danem verjetnostnem poskusu naj je definirana mera, s katero se meri obsežnost dogodkov. Verjetnost dogodka A je potem razmerje med mero dogodka A in mero celotne množice vseh možnih izidov.

To definicijo se uporablja zlasti, kadar se ima opravka z dogodki, ki imajo neskončno mnogo izidov, in zato računanje verjetnosti po klasični definiciji ni možno.

Zgled:

• Poskus naj bo izbiranje naključnega realnega števila z intervala [10,20]
• A je dogodek, da je izbrano število večje od 17.5.
• Za mero se seveda vzame kar širino intervala.
• Verjetnost dogodka A je potem enaka:

${\displaystyle P(A)={\frac {2,5}{10}}={\frac {1}{4}}=25\ \%\!\,.}$ 

Statistična definicija

Za statistično obdelavo je treba poskus ponoviti zelo velikokrat. Pri tem se računa kolikokrat se dogodek A zgodi (to je frekvenca dogodka A). Verjetnost dogodka A je število, h kateremu konvergira relativna frekvenca dogodka A, ko se število ponovitev poskusa veča proti neskončno.

Za dodatno razlago glej tudi: dogodek.

Verjetnost poljubnega dogodka je vedno večja ali enaka 0 in vedno manjša ali enaka 1:

${\displaystyle P(A)\in [0,1]\!\,.}$ 

Verjetnost dogodka A in verjetnost nasprotnega dogodka A' imata vsoto 1:

${\displaystyle P(A)+P(A')=1\!\,.}$ 

Verjetnost unije nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti obeh verjetnosti:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)\!\,.}$ 

Verjetnost unije dveh poljubnih dogodkov se lahko izračuna po formuli:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\!\,.}$ 

Verjetnost preseka (produkta) neodvisnih dogodkov je enaka produktu obeh verjetnosti:

${\displaystyle P(AB)=P(A)P(B)\!\,.}$ 

Verjetnost preseka (produkta) odvisnih dogodkov se lahko izračuna po formuli:

${\displaystyle P(AB)=P(A)P(B/A)\!\,.}$ 

V zadnji formuli P(B/A) pomeni pogojno verjetnost za dogodek B pri pogoju, da se je pred tem že zgodil dogodek A. Dogodka sta odvisna, če dejstvo, da se je dogodek A že zgodil, vpliva na verjetnost dogodka B. Če dogodek A ne vpliva na dogodek B, potem sta neodvisna.

• verjetnostni račun
• dogodek