Kebarangkalian

Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nombor antara 0 dan 1, di mana, secara kasarnya, 0 menunjukkan kemustahilan kejadian dan 1 menunjukkan kepastian. Semakin tinggi kebarangkalian sesuatu kejadian, semakin besar kemungkinan kejadian itu akan berlaku. Contoh mudah ialah melambung syiling yang adil (tidak berat sebelah). Oleh kerana syiling adalah adil, kedua-dua hasil ("kepala" dan "ekor") kedua-duanya berkemungkinan sama; kebarangkalian "kepala" sama dengan kebarangkalian "ekor"; dan kerana tiada hasil lain yang mungkin, kebarangkalian sama ada "kepala" atau "ekor" ialah 1/2 (yang juga boleh ditulis sebagai 0.5 atau 50%).

Konsep-konsep ini telah diberikan pemformalisasian matematik aksiomatik dalam teori kebarangkalian, yang digunakan secara meluas dalam bidang kajian seperti statistik, matematik, sains, kewangan, perjudian, kecerdasan buatan, pembelajaran mesin, sains komputer, teori permainan, dan falsafah untuk, sebagai contoh, membuat kesimpulan tentang kekerapan kejadian yang dijangkakan. Teori kebarangkalian juga digunakan untuk menerangkan mekanik dan keteraturan asas untuk sistem kompleks.

Apabila berurusan dengan eksperimen yang rawak dan ditakrifkan dengan baik dalam tetapan teori semata-mata (seperti melambung syiling), kebarangkalian boleh digambarkan secara berangka dengan bilangan hasil yang diingini, dibahagikan dengan jumlah bilangan semua hasil. Contohnya, melambung syiling dua kali akan menghasilkan hasil "kepala-kepala", "kepala-ekor", "kepala-ekor" dan "ekor-ekor". Kebarangkalian untuk mendapatkan hasil "kepala-kepala" ialah 1 daripada 4 hasil, atau, dalam sebutan berangka, 1/4, 0.25 atau 25%. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada aplikasi praktikal, terdapat dua kategori bersaing utama untuk tafsiran kebarangkalian, yang pengikutnya mempunyai pandangan yang berbeza tentang sifat asas kebarangkalian:

• Objektivis menetapkan nombor untuk menerangkan beberapa keadaan objektif atau fizikal. Versi kebarangkalian objektif yang paling popular ialah kebarangkalian kekerapan, yang mendakwa bahawa kebarangkalian kejadian rawak menandakan kekerapan relatif kejadian hasil eksperimen apabila eksperimen diulang selama-lamanya. Tafsiran ini menganggap kebarangkalian sebagai kekerapan relatif "dalam jangka panjang" untuk hasil. Pengubahsuaian untuk ini ialah kebarangkalian kecenderungan, yang mentafsirkan kebarangkalian sebagai kecenderungan sesetengah eksperimen untuk menghasilkan hasil tertentu, walaupun ia dilakukan sekali sahaja.
• Subjektivis menetapkan nombor setiap kebarangkalian subjektif, iaitu, sebagai tahap kepercayaan. Tahap kepercayaan telah ditafsirkan sebagai "harga di mana anda akan membeli atau menjual pertaruhan yang membayar 1 unit utiliti jika E, 0 jika bukan E", walaupun tafsiran itu tidak dipersetujui secara universal. Versi kebarangkalian subjektif yang paling popular ialah kebarangkalian Bayesian, yang merangkumi pengetahuan pakar serta data percubaan untuk menghasilkan kebarangkalian. Pengetahuan pakar diwakili oleh beberapa taburan kebarangkalian terdahulu (yang subjektif). Data ini digabungkan dalam fungsi kemungkinan. Hasil darab sebelum dan kemungkinan, apabila dinormalkan, menghasilkan taburan kebarangkalian posterior yang menggabungkan semua maklumat yang diketahui setakat ini. Dengan teorem perjanjian Aumann, ejen Bayesian yang kepercayaan terdahulunya serupa akan berakhir dengan kepercayaan posterior yang serupa. Walau bagaimanapun, pendahuluan yang cukup berbeza boleh membawa kepada kesimpulan yang berbeza, tidak kira berapa banyak maklumat yang dikongsi oleh ejen.

Kajian saintifik tentang kebarangkalian adalah perkembangan moden matematik. Perjudian menunjukkan bahawa terdapat minat untuk mengukur idea-idea kebarangkalian selama beribu-ribu tahun, tetapi huraian matematik yang tepat timbul tidak lama kemudian. Terdapat sebab untuk perkembangan matematik kebarangkalian yang perlahan. Manakala permainan peluang memberikan dorongan untuk kajian matematik kebarangkalian, isu asas masih dikaburkan oleh kepercayaan karut para penjudi.

Menurut Richard Jeffrey, "Sebelum pertengahan abad ketujuh belas, istilah 'kemungkinan' (Inggeris probable, Latin probabilis) bermaksud boleh diluluskan, dan digunakan dalam pengertian itu, secara univokal, untuk pendapat dan untuk bertindak. Tindakan atau pendapat yang berkemungkinan adalah tindakan atau pendapat yang akan dilakukan atau dipegang oleh orang yang waras, dalam keadaan itu." Walau bagaimanapun, dalam konteks undang-undang terutamanya, 'kemungkinan' juga boleh digunakan untuk cadangan yang terdapat bukti yang kukuh.

 

 

Polimat Itali abad keenam belas Gerolamo Cardano menunjukkan keberkesanan mentakrifkan odds sebagai nisbah hasil yang menguntungkan kepada tidak menguntungkan (yang membayangkan bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa diberikan oleh nisbah hasil yang menggalakkan kepada jumlah hasil yang mungkin). Selain daripada karya asas oleh Cardano, doktrin kebarangkalian bertarikh pada surat-menyurat Pierre de Fermat dan Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) memberikan layanan saintifik terawal yang diketahui tentang subjek tersebut. Ars Conjectandi (posthumous, 1713) oleh Jakob Bernoulli dan Doctrine of Chances (1718) oleh Abraham de Moivre menganggap subjek ini sebagai cabang matematik. Lihat The Emergence of Probability oleh Ian Hacking dan The Science of Conjecture oleh James Franklin untuk sejarah perkembangan awal konsep kebarangkalian matematik.

Teori ralat boleh dikesan kembali ke Opera Miscellanea Roger Cotes (posthumous, 1722), tetapi memoir yang disediakan oleh Thomas Simpson pada 1755 (dicetak 1756) mula-mula mengaplikasikan teori dalam perbincangan tentang kesilapan pemerhatian. Cetakan semula (1757) memoir ini meletakkan aksiom bahawa ralat positif dan negatif adalah sama berkemungkinan, dan had tertentu yang boleh ditetapkan menentukan julat semua ralat. Simpson juga membincangkan ralat selanjar dan menerangkan lengkung kebarangkalian.

Dua hukum ralat pertama yang dicadangkan kedua-duanya berasal dari Pierre-Simon Laplace. Hukum pertama diterbitkan pada tahun 1774, dan menyatakan bahawa kekerapan ralat boleh dinyatakan sebagai fungsi eksponen bagi magnitud berangka ralat—tanpa menghiraukan tanda. Hukum ralat kedua telah dicadangkan pada tahun 1778 oleh Laplace, dan menyatakan bahawa kekerapan ralat adalah fungsi eksponen bagi kuasa dua ralat. Hukum ralat kedua dipanggil taburan normal atau hukum Gauss. "Adalah sukar dari segi sejarah untuk mengaitkan undang-undang itu kepada Gauss, yang walaupun sebelum ini terkenal mungkin tidak membuat penemuan ini sebelum dia berumur dua tahun."

Daniel Bernoulli (1778) memperkenalkan prinsip hasil darab maksimum bagi kebarangkalian sistem ralat serentak.

 

Adrien-Marie Legendre (1805) membangunkan kaedah kuasa dua terkecil, dan memperkenalkannya dalam Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes-nya (New Methods for Determining the Orbits of Comets). Dengan tidak mengetahui sumbangan Legendre, seorang penulis Ireland-Amerika, Robert Adrain, editor "The Analyst" (1808), mula-mula menyimpulkan hukum kemudahan ralat,

${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}},}$ 

di mana ${\displaystyle h}$  adalah pemalar bergantung pada ketepatan pemerhatian, dan ${\displaystyle c}$  ialah faktor skala yang memastikan bahawa luas di bawah lengkung sama dengan 1. Dia memberikan dua bukti, yang kedua pada dasarnya sama dengan John Herschel (1850). Gauss memberikan bukti pertama yang nampaknya telah diketahui di Eropah (yang ketiga selepas Adrain) pada tahun 1809. Bukti lanjut diberikan oleh Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856), dan Morgan Crofton (1870). Penyumbang lain ialah Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), dan Giovanni Schiaparelli (1875). Formula Peters (1856) untuk r, kemungkinan ralat bagi satu pemerhatian, sudah diketahui umum.

In the nineteenth century, authors on the general theory included Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion and Karl Pearson. Augustus De Morgan and George Boole improved the exposition of the theory.

Pada tahun 1906, Andrey Markov memperkenalkan tanggapan rantaian Markov, yang memainkan peranan penting dalam teori proses stokastik dan aplikasinya. Teori kebarangkalian moden berdasarkan teori ukuran telah dibangunkan oleh Andrey Kolmogorov pada tahun 1931.

Dari segi geometri, penyumbang kepada The Educational Times adalah berpengaruh (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson, dan Artemas Martin). Lihat geometri bersepadu untuk mendapatkan maklumat lanjut.

Seperti teori lain, teori kebarangkalian ialah perlambangan konsepnya dalam istilah formal—iaitu, dalam istilah yang boleh dianggap berasingan daripada maknanya. Istilah formal ini dimanipulasi oleh peraturan matematik dan logik, dan sebarang keputusan ditafsir atau diterjemahkan kembali ke dalam domain masalah.

Terdapat sekurang-kurangnya dua percubaan yang berjaya untuk memformalkan kebarangkalian, iaitu rumusan Kolmogorov dan rumusan Cox. Dalam rumusan Kolmogorov (lihat juga ruang kebarangkalian), set ditafsirkan sebagai peristiwa dan kebarangkalian sebagai ukuran pada kelas set. Dalam teorem Cox, kebarangkalian diambil sebagai primitif (iaitu, tidak dianalisis lebih lanjut), dan penekanan adalah untuk membina penugasan nilai kebarangkalian yang konsisten kepada proposisi. Dalam kedua-dua kes, hukum kebarangkalian adalah sama, kecuali butiran teknikal.

Terdapat kaedah lain untuk mengukur ketidakpastian, seperti teori Dempster-Shafer atau teori kemungkinan, tetapi kaedah tersebut pada asasnya berbeza dan tidak serasi dengan hukum kebarangkalian yang biasanya difahami.