Matamaitic Grúpa

Tá sé níos simplí ná an fáinne, ach tá níos mó chómhdhéanamh ann na atá sa tacar. Níl ach eilimintí i dtacar, ach tá eilimintí agus oibríocht (mar shampla an suimiú nó an iolrú) i ngrúpa.

Is grúpa é ${\displaystyle (G,*)}$ , tacar eilimintí ${\displaystyle G}$  faoin oibríocht ${\displaystyle *}$ , má:

1. tá ${\displaystyle G}$  iata faoi ${\displaystyle *}$ , is é sin ${\displaystyle a*b\in G}$  do gach ${\displaystyle a,b\in G}$ ;
2. tá an oibríocht ${\displaystyle *}$  comhthiomsaitheach thar ${\displaystyle G}$ , is é sin ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}$  do gach ${\displaystyle a,b,c\in G}$ ;
3. tá eilimint céannachta ${\displaystyle e\in G}$  ionas gur ${\displaystyle a*e=e*a=a}$  do gach ${\displaystyle a\in G}$ ;
4. tá inbhéarta ${\displaystyle a^{-1}}$  ag gach ${\displaystyle a\in G}$ , ionas gur ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$ .

Má tá an oibríocht ${\displaystyle *}$  cómhalartach freisin, is é sin ${\displaystyle a*b=b*a}$  do gach ${\displaystyle a,b\in G}$ , is grúpa aibéalach an grúpa.

Sampla amháin de ghrúpa is ea ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$  na slánuimhreacha faoi shuimiú. Tá sé iata faoi ${\displaystyle +}$  mar tá suim dhá slánuimhreacha ina slánuimhir. Is é an uimhir ${\displaystyle 0}$  an eilimint céannacht sa grúpa ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$  mar tá ${\displaystyle n+0=n}$  do gach ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ . Agus is é ${\displaystyle -n}$  an inbhéartha ag ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ , mar tá ${\displaystyle n+(-n)=0}$ . Agus tá an suimiú comhthiomsaitheach thar ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Sampla eile is ea ${\displaystyle (\{1,i,-1,-i\},\times )}$  faoi iolrú, áit a bhfuil ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}\in \mathbb {C} }$  (na huimhreacha coimpléascacha). Is é ${\displaystyle 1}$  an eilimint céannacht ann.

Sampla eile fós is ea na rothluithe thart ar chomhphointe, nuair is é ${\displaystyle *}$  rothlú amháin ar dtús is ansin rothlú eile. Déantar staidéar ar airíonna grúpaí le grúptheoiric.