คณิตศาสตร์ กรุป

กรุปเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรของวัตถุในรูปแบบต่าง ๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใด ๆ ก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ตัวอย่างโดยตรงคือกรุปสมมาตรของวัตถุ ซึ่งเป็นเครื่องมือหนึ่งในการอธิบายสมมาตรของวัตถุเชิงเรขาคณิต กรุปสมมาตรมีสมาชิกประกอบไปด้วยการแปลง (การหมุน การพลิกรูป การสะท้อน ฯลฯ) ที่คงรูปทรงของวัตถุนั้น ลีกรุปเป็นกรุปสมมาตรชนิดหนึ่งที่ปรากฏในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค กรุปปวงกาเรเป็นลีกรุปที่มีสมาชิกเป็นสมมาตรของกาลอวกาศในสัมพัทธภาพพิเศษ ในขณะที่กรุปจุดสามารถอธิบายสมมาตรของโมเลกุลเคมีได้

กรุปมีจุดกำเนิดเริ่มแรกจากการศึกษาสมการเชิงพหุนาม ในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1830 เอวาริสต์ กาลัวเป็นคนแรกที่ใช้คำว่า กรุป (Groupe ในภาษาฝรั่งเศส) เรียกกรุปสมมาตรของรากของพหุนาม ซึ่งปัจจุบันเราเรียกกรุปเหล่านั้นว่า กรุปกาลัว ตั้งแต่นั้นมามีการศึกษากรุปจากสาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีจำนวน และ เรขาคณิต ก่อนที่แนวความคิดเกี่ยวกับกรุปทั่ว ๆ ไปจะได้รับการนิยามในช่วงปีคริสต์ศักราชที่ 1870 ในช่วงเวลาเดียวกันกับที่คณิตศาสตร์พัฒนาไปในทิศทางที่เป็นนามธรรมขึ้นเรื่อย ๆ ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาสำคัญของพีชคณิตนามธรรม

ในปัจจุบัน ทฤษฎีกรุปสมัยใหม่ศึกษากรุปในตัวมันเอง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดมากมาย เช่น สับกรุป กรุปผลหาร และ กรุปเชิงเดี่ยว นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์ยังศึกษากรุปในมุมมองที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น และสามารถระบุได้อย่างเจาะจง การศึกษานี้นำไปสู่ทฤษฎีตัวแทนและทฤษฎีกรุปเชิงการคำนวณ

กรุป ${\displaystyle (G,\ast )}$  ประกอบด้วย เซตไม่ว่าง ${\displaystyle G}$  กับ การดำเนินการทวิภาค ${\displaystyle \ast \colon G\to G}$  ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกข้อต่อไปนี้

• การเปลี่ยนหมู่: สำหรับทุก ${\displaystyle a,b}$  และ ${\displaystyle c}$  ใน ${\displaystyle G}$  จะได้ว่า ${\displaystyle (a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)}$ 
• การมีสมาชิกเอกลักษณ์: มีสมาชิก ${\displaystyle e}$  ใน ${\displaystyle G}$  ที่ทำให้สำหรับทุก ${\displaystyle a}$  ใน ${\displaystyle G}$  จะได้ว่า ${\displaystyle e\ast a=a\ast e=a}$  เรียก ${\displaystyle e}$  ว่าเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (identity) ของ ${\displaystyle (G,\ast )}$ 
• สมาชิกผกผัน: สำหรับทุก ${\displaystyle a}$  ใน ${\displaystyle G}$ , จะมีสมาชิก ${\displaystyle b}$  ใน ${\displaystyle G}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle a\ast b=b\ast a=e}$  เมื่อ ${\displaystyle e}$  คือสมาชิกเอกลักษณ์ และเรียก ${\displaystyle b}$  ดังกล่าวว่าเป็นสมาชิกผกผันของ ${\displaystyle a}$  สามารถพิสูจน์ได้ว่า สมาชิกผกผันในกรุปจะมีได้เพียงตัวเดียว และนิยมเขียนสมาชิกผกผันของ ${\displaystyle a}$  ด้วย ${\displaystyle a^{-1}}$ 

บางครั้งผู้เขียนอาจกำหนดสัจพจน์ที่กรุปต้องสอดคล้องเพิ่มเติม เพื่อเน้นย้ำความเป็นการดำเนินการทวิภาคของ ${\displaystyle \ast }$ 

• สมบัติปิด: สำหรับทุก ${\displaystyle a,b}$  ใน ${\displaystyle G}$  จะได้ว่า ${\displaystyle a\ast b\in G}$  ด้วย

เมื่อเป็นที่เข้าใจ อาจละการเขียนตัวดำเนินการ และเรียกกรุป ${\displaystyle (G,\ast )}$  แทนด้วย ${\displaystyle G}$  แทน

ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป

ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป หรือ โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกรุป (group homomorphism) คือฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างการเป็นกรุป ฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon (G,\ast )\to (H,\cdot )}$  ระหว่างกรุป ${\displaystyle (G,\ast )}$  และ ${\displaystyle (H,\cdot )}$  จะเป็นฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป ก็ต่อเมื่อ

$${\displaystyle f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)}$$

 

${\displaystyle a,b\in G}$ 

สมบัติที่ได้จากนิยามข้างต้นคือ

• ${\displaystyle f}$  รักษาเอกลักษณ์ของกรุป: ${\displaystyle f(e_{G})=e_{H}}$  เมื่อ ${\displaystyle e_{G},e_{H}}$  เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุป ${\displaystyle G}$  และกรุป ${\displaystyle H}$  ตามลำดับ
• ${\displaystyle f}$  รักษาการหาผกผัน: ${\displaystyle f(a^{-1})=(f(a))^{-1}}$  ทุกสมาชิก ${\displaystyle a\in G}$ 

สมบัติข้างต้นเน้นย้ำว่าฟังก์ชันสาทิสสัณฐานรักษาโครงสร้างของกรุป ${\displaystyle G}$ 

อันดับของกรุปและอันดับของสมาชิก

อันดับ (order) ของกรุป ${\displaystyle G}$  (นิยมเขียนแทนด้วย ${\displaystyle \left\vert G\right\vert }$ , ${\displaystyle \operatorname {ord} (G)}$ หรือ ${\displaystyle o(G)}$ ) จะหมายถึงจำนวนสมาชิกของกรุป ${\displaystyle G}$  ในกรณีที่ ${\displaystyle G}$  เป็นเซตจำกัด และจะเรียก ${\displaystyle G}$  ว่าเป็นกรุปจำกัด (Finite group) ในขณะที่ ${\displaystyle G}$  เป็นเซตอนันต์ จะเรียกว่ากรุปนั้นเป็นกรุปอนันต์ นิยมเขียนด้วย ${\displaystyle \left\vert G\right\vert =\infty }$ 

อันดับของสมาชิก ${\displaystyle a}$  ในกรุป G คือจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ aⁿ = e โดยที่ aⁿ คือ a คูณตัวมันเอง n ครั้ง (หรือองค์ประกอบที่เหมาะสมอื่นๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการของกรุป) ถ้าไม่มีจำนวนนับ n ดังกล่าว จะเรียกว่า a มีอันดับเป็นอนันต์

อาบีเลียนกรุป

กรุป G จะเป็น อาบีเลียนกรุป หรือ กรุปสลับที่ ถ้าการดำเนินการของกรุปมีสมบัติสลับที่ได้ นั่นคือสำหรับทุกๆ a,b ใน G จะได้ว่า a * b = b * a

คำว่า อาบีเลียน (Abelian) ตั้งขึ้นตามชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ นีลส์ อะเบล นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์

กรุปวัฏจักร

กรุปวัฏจักร คือกรุปซึ่งสมาชิกของมันอาจถูกก่อกำเนิดโดยการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปจะถูกใช้กับสมาชิกเดี่ยวของ กรุปนั้น สมาชิกเดี่ยวนี้เรียกว่า ตัวก่อกำเนิดหรือสมาชิกปฐมฐานของกรุปนั้น

กรุปวัฏจักรการคูณซึ่ง G เป็นกรุป และ a เป็นตัวก่อกำเนิด

${\displaystyle G=\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ 

กรุปวัฏจักรการบวก ตัวก่อกำเนิดเป็น a

${\displaystyle G'=\{n*a\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ 

ถ้าการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปถูกใช้กับสมาชิกไม่ปฐมฐานของกรุป กรุปย่อยวัฏจักรจะถูกก่อกำเนิด อันดับของ กรุปย่อยวัฏจักรแบ่งอันดับของกรุปนั้น ดังนั้นถ้าอันดับของกรุปเป็นจำนวนเฉพาะ สมาชิกทุกตัวยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์จะเป็นสามชิกปฐมฐานของกรุป

ควรระลึกไว้ด้วยว่า กรุปประกอบด้วยกรุปย่อยวัฏจักรซึ่งถูกก่อกำเนิดโดยสมาชิกแต่ละตัวในกรุป อย่างไรก็ตามกรุปซึ่งประกอบขึ้นจากกรุปย่อยวัฏจักรนั้น ตัวมันเองไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นกรุปวัฏจักรเสมอไป ตัวอย่างเช่น กรุปไคลน์ไม่เป็นกรุปวัฏจักรแม้ว่าจะประกอบขึ้นมาจากกรุปวัฏจักรที่มีอันดับเป็น 2 ที่เหมือนกันสองกรุปก็ตามที

กรุปสามารถใช้สัญกรณ์ต่างๆ กันขึ้นอยู่กับบริบทและการดำเนินการ

• กรุปการบวก ใช้ + เพื่อแสดงถึงการบวก และเครื่องหมายลบ - แสดงถึงสมาชิกผกผัน เช่น a + (-a) = 0 ใน Z
• กรุปการคูณ ใช้ *,. หรือสัญลักษณ์ทั่วไป ${\displaystyle \circ }$  เพื่อแสดงถึงการคูณ และตัวยก ^-1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น a*a^-1 = 1 เป็นเรื่องธรรมดาที่จะไม่เขียน * และเขียนเป็น aa^-1 แทน
• กรุปแบบฟังก์ชัน ใช้ • เพื่อแสดงการประกอบฟังก์ชัน และตัวยก ^-1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น g • g^-1 = e เป็นเรื่องทั่วไปที่จะไม่เขียน • และเขียนเป็นgg^-1 แทน

การละเลยตัวดำเนินการเป็นเรื่องทั่วไปที่ยอมรับได้ และทิ้งให้ผู้อ่านรู้บริบทและการดำเนินการเอาเอง

เมื่อจะนิยามกรุป มีสัญกรณ์มาตรฐานที่ใช้วงเล็บในการนิยามกรุปและการดำเนินการของมัน ตัวอย่างเช่น (H, +) แสดงว่าเซต H เป็น กรุปภายใต้การบวก

สมาชิกเอกลักษณ์ e หรือบางครั้งก็เรียกว่า สมาขิกกลาง และบางครั้งก็ถูกแสดงโดยใช้สัญลักษณ์อืนๆ ขึ้นอยู่กับกรุปนั้นๆ :

• ในกรุปการคูณ สมาชิกเอกลักษณ์คือ 1
• ในกรุปเมทริกซ์หาตัวผกผันได้ สมาชิกเอกลักษณ์มักแทนด้วย I
• ในกรุปการบวก สมาชิกเอกลักษณ์อาจเขียนเป็น 0
• ในกรุปแบบฟังก์ชัน สมาชิกเอกลักษณ์มักใช้เป็น f₀

อาบีเลียนกรุป : จำนวนเต็มภายใต้การบวก

กรุปที่คุ้นเคยกันก็คือกรุปของจำนวนเต็มภายใต้การบวก ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} และให้สัญลักษณ์ + แสดงการดำเนินการบวก แล้ว (Z,+) เป็นกรุป

พิสูจน์ :

• สมบัติการปิด ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a+b ก็เป็นจำนวนเต็ม
• สมบัติการเปลี่ยนหมู่ ถ้า a b และ c เป็นจำนวนเต็มแล้ว (a + b) + c = a + (b + c)
• สมาชิกเอกลักษณ์ 0 เป็นจำนวนเต็ม สำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ 0 + a = a + 0 = a
• สมาชิกผกผัน ถ้า a เป็นจำนวนเต็มแล้ว -a สอดคล้องกับกฎการผกผัน a + (−a) = (−a) + a = 0

กรุปนี้เป็นอาบีเลียนกรุปด้วยเพราะ a + b = b + a