Matematicas Grop: Monoïde que totei seis elements son simetrizables

Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

Definicions

L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat ${\displaystyle (G,\,*)}$  es un ensemble ${\displaystyle G}$  provesit d'una lèi de composicion intèrna ${\displaystyle *}$  satisfasent leis axiòmas seguents :

• associativitat : ${\displaystyle \forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,\forall \,z\in G,x*(y*z)=(x*y)*z}$ 
• existéncia d'un element neutre : ${\displaystyle \exists \,e\in G,\,\forall x\in G,x*e=e*x=x}$  ; se saup que e es unic
• tot element de ${\displaystyle G}$  es simetrizable : ${\displaystyle \forall \,x\in G,\,\exists \,x'\in G,x*x'=x'*x=e}$  ; se saup que per cada element ${\displaystyle x}$  de ${\displaystyle G}$  , l'element ${\displaystyle x'}$  es unic : es sonat simetric de ${\displaystyle x}$ .

Se ditz que ${\displaystyle G}$  es l'ensemble sosjacent au grop ${\displaystyle (G,\,*)}$ . Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.

Terminologia : en luòga de dire que lo pareu ${\displaystyle (G,\,*)}$  es un grop, se ditz sovent que «l'ensemble ${\displaystyle G}$ , provesit de la lèi de composicion intèrna ${\displaystyle *}$ , es un grop» ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar ${\displaystyle G}$  en plaça de ${\displaystyle (G,\,*)}$  (l'operacion intèrna es sosentenduda).

Commutacion e commutativitat

Siá un grop ${\displaystyle (G,\,*)}$  .

Commutacion d'elements

Se ditz que dos elements a, b de G commutan se ${\displaystyle \ a*b=b*a}$  .

Per exemple, tot element a commuta :

• amb eu meteis : ${\displaystyle \ a*a=a*a}$ 
• amb l'element neutre : ${\displaystyle \ a*e=e*a=a}$ 
• amb son simetric : ${\displaystyle \ a*a'=a'*a=e}$ 

Grop commutatiu

Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :

• ${\displaystyle \ \forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,x*y=y*x}$  (commutativitat)

Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

Notacions

La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

Grop multiplicatiu

Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :

• s'escriu : x · y o x y en plaça de : ${\displaystyle \ x*y}$ 

• l'element neutre se nòta "1" o "1_G" (element unitat de G)

• per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta ${\displaystyle x^{-1}}$ 

Grop additiu

Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :

• s'escriu : x + y en plaça de : ${\displaystyle \ x*y}$ 

• l'element neutre se nòta "0" o "0_G" (element nul, o zèro de G)

• per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta ${\displaystyle -x}$ 

Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

Premierei proprietats

Estent un grop ${\displaystyle (G,\,*)}$  onte lo simetric de cada element x se nòta x'  :

• e' = e (lo simetric de l'element neutre e es e)

• ${\displaystyle \forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,(x*y)'=y'*x'}$  (simetric dau compausat de dos elements)

• ${\displaystyle \forall \,x\in G,\,(x')'=x}$  (simetric dau simetric d'un element)

Exemples

• L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  dei racionaus, de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$  dei reaus, e de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {C} }$  dei complèxes.

• L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\ast }}$  dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ast }}$  dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$  dei complèxes diferents de 0.

• L'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$  dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.

• L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de l'addicion, es un grop commutatiu.

• L'ensemble dei matritz carradas invertiblas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un grop ; tre que n es diferent de 1, aquest grop es pas commutatiu.

• Siá ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$  l'ensemble dei partidas d'un ensemble ${\displaystyle \ \Omega }$  . Estent dos elements A, B de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  , se definís sa diferéncia simetrica, notada ${\displaystyle \ A\vartriangle B}$  :

${\displaystyle \ A\vartriangle B=(A\,\setminus B)\cup (B\,\setminus A)=(A\cup B)\,\setminus (A\cap B)}$  .
L'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja ${\displaystyle \varnothing }$ , e cada element de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  es son pròpri simetric : per tota partida A de ${\displaystyle \ \Omega }$ ,
${\displaystyle \ A\vartriangle \varnothing =A}$  e ${\displaystyle \ A\vartriangle A=\varnothing }$ 

Còntraexemples

• L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$  deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins ${\displaystyle \mathbb {N} }$  es 0.
• L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
• L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu

Estent un grop multiplicatiu ${\displaystyle (G,\,\cdot )}$  , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

• ${\displaystyle x^{m}=x\cdots x}$  (produch de m factors egaus a x)

• ${\displaystyle \ x^{-m}=(x')^{m}}$  (produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular, ${\displaystyle x^{-1}=x'}$ , çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs

• ${\displaystyle \ x^{0}=1_{G}}$ 

Se definís ansin una aplicacion ${\displaystyle \ \mathbb {Z} \times G\to G,\,(n,\,x)\mapsto x^{n}}$  sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element ${\displaystyle x^{n}}$  es la poténcia d'exponent n de x.

Proprietats de l'exponenciacion

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,p\in \mathbb {Z} ,\forall x\in G}$  :

• ${\displaystyle x^{n+p}=x^{n}\cdot x^{p}}$ 

• ${\displaystyle \left(x^{n}\right)^{\,p}=x^{n\,p}}$ 

Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau ${\displaystyle (x\cdot y)^{n}\neq x^{n}\cdot y^{n}}$ . Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu : ${\displaystyle (x\cdot y)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}}$ 

Multiples d'un element d'un grop additiu

Estent un grop additiu ${\displaystyle (G,\,+)}$  , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

• ${\displaystyle m\cdot x=x+\cdots +x}$  (soma de m tèrmes egaus a x)

• ${\displaystyle (-m)\cdot x=m\cdot x'}$  (soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular, ${\displaystyle (-1)\cdot x=x'}$ , çò que justifica la notacion usuala de l'opausat

• ${\displaystyle 0\cdot x=0_{G}}$ 

Se definís ansin una aplicacion ${\displaystyle \ \mathbb {Z} \times G\to G,\,(n,\,x)\mapsto n\cdot x}$  qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element ${\displaystyle \ n\cdot x}$  es lo multiple de coefficient n de x.

Proprietats

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,p\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G}$  :

• ${\displaystyle (n+p)\cdot x=(n\cdot x)+(p\cdot x)}$ 

• ${\displaystyle n\cdot (p\cdot x)=(n\,p)\cdot x}$ 

• ${\displaystyle n\cdot (x+y)=(n\cdot x)+(n\cdot y)}$ 

Definicion

Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :

• ${\displaystyle \forall \,x\in H,\,\forall \,y\in H,\,x*y\in H}$ 
• ${\displaystyle \forall \,x\in H,\,\,x'\in H}$ 

Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :

• ${\displaystyle \forall \,x\in H,\,\forall \,y\in H,\,x*y'\in H}$ 

Exemples

Dins un grop G :

• l'ensemble ${\displaystyle \{e\}}$  que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
• l'ensemble ${\displaystyle Z(G)}$  deis elements que commutan amb totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:

${\displaystyle Z(G)=\{x\in G\mid \forall \,y\in G,\,x*y=y*x\}}$ 

Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

Definicions

• Sián dos grops ${\displaystyle (G_{1},\,\ast )}$  (d'element neutre ${\displaystyle e_{1}}$ ) e ${\displaystyle (G_{2},\,\star )}$  (d'element neutre ${\displaystyle e_{2}}$ ) . Un morfisme de ${\displaystyle (G_{1},\,\ast )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{2},\,\star )}$  es per definicion una aplicacion ${\displaystyle f:G_{1}\to G_{2}}$  tala que

${\displaystyle \ \forall \,(x,\,y)\in G_{1}^{2},\;f(x*y)=f(x)\star f(y)}$ 

• En particular, un endomorfisme dau grop ${\displaystyle (G,\,\ast )}$  es un morfisme de ${\displaystyle (G,\,\ast )}$  vèrs eu meteis.

• Estent un morfisme ${\displaystyle \ f}$  de ${\displaystyle (G_{1},\,\ast )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{2},\,\star )}$  , se definís ansin son nuclèu (sosensemble de ${\displaystyle \ G_{1}}$  ), notat ${\displaystyle \ \ker(f)}$  , e son imatge (sosensemble de ${\displaystyle \ G_{2}}$  ), notat ${\displaystyle \ \mathrm {im} (f)}$  :

${\displaystyle \ker(f)=\{x\in G_{1}\mid f(x)=e_{2}\}=f^{-1}(\{e_{2}\})}$ 

${\displaystyle \ \mathrm {im} (f)=\{y\in G_{2}\mid \exists \,x\in G_{1},\,f(x)=y\}=f(G_{1})}$ 

• Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).

• Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

Proprietats

• Siá un morfisme ${\displaystyle \ f}$  de ${\displaystyle (G_{1},\,\cdot )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{2},\,\cdot )}$  (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
  • ${\displaystyle \ f(e_{1})=e_{2}}$  : l'imatge per ${\displaystyle \ f}$  de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
  • Per tot element x de ${\displaystyle \ G_{1}}$ , ${\displaystyle \ f(x^{-1})=f(x)^{-1}}$  : l'imatge per ${\displaystyle \ f}$  de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
  • Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins ${\displaystyle \ G_{1}}$  e n es un entier : ${\displaystyle f\left(x^{n}\right)=(f(x))^{\,n}}$ .

• L'aplicacion identica de ${\displaystyle \ G_{1}}$  es un automorfisme de ${\displaystyle (G_{1},\,\cdot )}$  .

• La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius ${\displaystyle (G_{1},\,\cdot )}$  , ${\displaystyle (G_{2},\,\cdot )}$  , ${\displaystyle (G_{3},\,\cdot )}$  e dos morfismes ${\displaystyle \ f}$  de ${\displaystyle (G_{1},\,\cdot )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{2},\,\cdot )}$  , ${\displaystyle \ g}$  de ${\displaystyle (G_{2},\,\cdot )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{3},\,\cdot )}$  .
  Alora, l'aplicacion compausada ${\displaystyle \ g\circ f}$  es un morfisme de ${\displaystyle (G_{1},\,\cdot )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{3},\,\cdot )}$ .
  En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.

• L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.

• L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.

• La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de ${\displaystyle (G_{1},\,\cdot )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{2},\,\cdot )}$  es un isomorfisme de ${\displaystyle (G_{2},\,\cdot )}$  vèrs ${\displaystyle (G_{1},\,\cdot )}$  dich isomorfisme recipròc.

Exemples

• Estent un reau a, l'aplicacion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto a\,x}$  es un endomorfisme dau grop additiu ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ; se ${\displaystyle \ a\neq 0}$  , ${\displaystyle f}$  es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion ${\displaystyle f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto a^{-1}\,x}$ 

• L'aplicacion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{\ast },\,x\mapsto \exp {x}}$  es un isomorfisme dau grop additiu ${\displaystyle \mathbb {R} }$  vèrs lo grop multiplicatiu ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{\ast }}$  (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
  • es bijectiva
  • ${\displaystyle \ \forall \,(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2},\;\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$ 

L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion ${\displaystyle f^{-1}:\mathbb {R} _{+}^{\ast }\to \mathbb {R} ,\,y\mapsto \ln {y}}$ 

Liames intèrnes

• Algèbra.
• Matematicas.

Bibliografia

• (fr) Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001.
• (fr) Roger Godement, Introduction à la théorie des groupes de Lie, Springer, 2004.
• (fr) Felix Ulmer, Théorie des groupes - Cours et exercices, Ellipses, 2012.

Nòtas e referéncias