Mathematica Gruppo

Un exemplo es le insimul de numeros integre con le operation de addition. Le axiomas es le sequentes:

1. (clausura) ${\displaystyle a\cdot b}$ es un elemento de ${\displaystyle G}$ pro omne ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle G}$.
2. (associativitate) ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$ pro omne ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle G}$.
3. (elemento neutre) il ha un elemento ${\displaystyle e}$ de ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$ pro omne ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$.
   Nota: On pote demonstrar que il ha solmente un tal elemento; on pote dicer le elemento neutre.
4. (inverso) pro omne ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$ il ha un elemento ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle b\cdot a=a\cdot b=e}$, ubi ${\displaystyle e}$ es le elemento neutre.
   Nota: On pote demonstrar que pro omne ${\displaystyle a}$ il ha solmente un tal elemento como ${\displaystyle b}$; on pote dicer le inverso de ${\displaystyle a}$. Un notation commun es ${\displaystyle a^{-1}}$.

In le exemplo del [8numero integre|numeros integre]], (1.) le summa de duo numeros integre es un numero integre, (2.) ${\displaystyle m+(n+p)=(m+n)+p}$ pro omne numeros integre ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, e ${\displaystyle p}$, (3.) le elemento neutre es ${\displaystyle 0}$, e (4.) le inverso de ${\displaystyle m}$ es ${\displaystyle -m}$. Le numeros integre non es un gruppo con subtraction como le operation proque subtraction non es associative.

Commutativitate ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ non es un axiom de gruppos: il ha gruppos ubi il ha elementos tal que ${\displaystyle a\cdot b\neq b\cdot a}$. Si le operation es commutative, le gruppo es un gruppo abelian.

• Theoria de gruppos
• Semigruppo
• Anello (algebra)
• Corpore (mathematica)
• Anello de division
• Spatio vectorial
• Gruppo de Lie
• Gruppo symmetric
• Theoria de insimules
• Tabella de leges algebric