Matematika Talde

Adibidez, zenbaki osoek batuketarekin talde bat osatzen dute.

Taldeak ezagutzaren hainbat arlotan agertzeak (matematikaren barruan zein kanpoan) oinarrizko printzipio bihurtzen ditu, eta horren inguruan taxutzen eta ezartzen dira matematika garaikideak, beste arlo zientifiko batzuetan berehala aplikatzeko

Lehen adibidea: zenbaki osoen batuketa-taldea

Talde ezagunenetako bat zenbaki osoen multzoa da, batuketa eragiketa gisa hartuta.

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$ 

Eragiketa aritmetiko horren propietateek taldearen kontzeptua argitzen lagunduko digute:

• Bi zenbaki osoren batuketaren emaitza (batura) zenbaki oso bat da: zenbaki batek ez badu parte hamartarrik, baturak ere ez du izango. Propietate horri itxiera aljebraikoa deritzo.

• Parentesiak alde batera utz daitezke eragiketen lehentasuna adierazteko: nahiz eta batuketa bi zenbakitarako definitu, ez dago anbiguotasunik a+b+c adierazpenean, (a+b) + c eta a + (b+c) eragiketen emaitzak berdinak baitira. Beraz, zenbaki osoen baturak egiaztatu egiten du elkartze-legea.

• Zenbaki bakar bat dago, zero, beste edozeini gehituta honen balioa aldatzen ez duena: a+0 = a = 0+a, a edozein zenbaki oso izanik. Zenbaki honi, hots, zerori, elementu neutroa deritzo.

• a zenbaki oso bakoitzarentzat, bere alderantzizkoa (-a) ere zenbaki osoa da, a + (-a) = 0 izanik. (-a) zenbakiari alderantziko elementua deritzo.

Lau propietate horiek eragiketa askotarako ere egiaztatzen dira, ez nahitaez zenbakizkoak; eta horiek guztiek kontzeptu abstraktu bat biltzen dute —taldearen kontzeptua— eta baita definitzen laguntzen ere. Definizio horrek, axiometan oinarritua, teoria abstraktu bat garatzeko aukera ematen du -taldeen teoria-.

Zenbaki osoen batuketaren kasuan, batugaien ordena ez da garrantzitsua, a eta b edozein direla ere, a+b = b+a betetzen baita. Propietate kommutatiboa da hori, baina ez da talde guztientzat egiazkotzat hartzen; beraz, taldeen teorian arreta berezia jartzen zaio eragiketen ordenari.

Definizio axiomatikoa

Izan bitez ${\displaystyle G}$  multzo ez-hutsa eta ${\displaystyle \circledast }$  eragiketa bitarra ${\displaystyle G}$ -n definituta. ${\displaystyle (G,\,\circledast )}$  parea taldea dela esaten da, baldintza hauek betetzen badira:

1. ${\displaystyle \circledast }$  barne-eragiketa bitarra da, hau da, ${\displaystyle G}$  multzoko bi elementu hartzen ditu ${\displaystyle G}$ -n ere hirugarren bat lortzeko. Ondorioz, ${\displaystyle \circledast }$  aplikazio bat da, honela definitua:
   ${\displaystyle \quad \quad \circledast :G\times G\to G}$ 
2. ${\displaystyle \circledast }$  eragiketak elkartze-propietatea betetzen du ${\displaystyle G}$ -ko elementuentzat. Alegia, edozein ${\displaystyle a,b,c\in G}$  elementutarako,
   ${\displaystyle \quad \quad (a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)}$ .
3. ${\displaystyle G}$ -k elementu berezi bat du, elementu neutro edo identitatea izenekoa, ${\displaystyle e}$  bezala denotatua, eta propietate hau betetzen duena: Edozein ${\displaystyle g\in G}$  elementutarako,
   ${\displaystyle \quad \quad e\circledast g=g\circledast e=g.}$ 
4. ${\displaystyle G}$ -ko edozein elementutarako existitzen da bere alderantzikoa (elementu simetrikoa), hau da, ${\displaystyle g\in G}$  guztientzat, existitzen da elementu bat, ${\displaystyle g^{-1}}$  denotatua,
   ${\displaystyle \quad \quad g\circledast g^{-1}=g^{-1}\circledast g=e.}$ 

Batzuetan, sinplifikatzeko, «G talde bat da» esaten da, «(${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle \circledast }$ ) talde bat» dela adierazi nahi dugunean.

${\displaystyle G}$  talde bat abeldarra dela esango dugu, propietate kommutatiboa betetzen badu, hau da, ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$  elementu guztientzat

${\displaystyle g_{1}\circledast g_{2}=g_{2}\circledast g_{1}}$ .

Taldearen kontzeptua ezezagun baten ekuazio aljebraikoen azterketatik sortu zen, 1830eko hamarkadan Évariste Galoisekin hasiz. Zenbakien teoria eta geometria bezalako beste arlo batzuetatik egindako ekarpenen ondoren, taldearen nozioa orokortu egin zen, eta tinko ezarri 1870 inguruan.

Taldearen definizioa asoziatibitatea, elementu neutroa, alderantzizko elementua eta eragiketa bitarraren nozioa erabiliz, F.G. Frobeniusek formulatu zuen lehen aldiz, 1887an, ohartaraziz haiek frogatzen zituen teoremak proposatutako axiomen araberakoak soilik zirela eta permutazio-taldeen aparatura jo beharrik gabe, zeinak bere aurreko Cauchy, Jordan eta Sylow.11 erabiltzen baitzituzten.

Talde kommutatiboak dira, gainera, propietate kommutatiboa egiaztatzen dutenak, normalean Niels Henrik Abel matematikari daniarraren omenez abeltar talde bezala deituak direnak. Izan ere, bere ekarpen garrantzitsuan, kintika erradikalen bidez desbideratu zela frogatu zuen 1846an, Ruffinitik abiatuta, Abel-Ruffiniren teorema deiturikoan eta bere ikerketetan talde kommutatiboak behin eta berriz erabiltzearen ondorioz. Geroago, Évariste Galoisek bere teoria berriekin frogatu zuen S₅ taldearen bereizmen ezak Abelek bosgarren graduko ekuazioaren ebazezintasunari buruz erradikalak erabiliz aurkitu zuenaren frogapen frogagarria.

Historian aztertutako lehen taldeak biderkatzaileak izan zirenez, haien nomenklatura eta notazioa modu hedatuan erabili ziren taldeen teorian definizio axiomatikoak eta abstraktuak orokortzeko; hala ere, nahitaez gomendagarria da aljebra abstraktuaren berezko notazioa eta nomenklatura erabiltzea.

Taldeen teoria modernoak (diziplina matematiko oso aktiboa) taldeak bere horretan aztertzen ditu.2. oharra Taldeak esploratzeko asmoz, matematikariek hainbat nozio asmatu dituzte taldeak azpisistema txikiagoetan, ulergarriagoetan, banatzeko, hala nola azpitaldeetan, talde zatitzaileetan eta talde sinpleetan. Bere propietate abstraktuez gain, taldeen teorikoek talde bat modu zehatzean adierazteko moduak ere aztertzen dituzte (taldearen errepresentazioak), bai ikuspuntu teoriko batetik, bai ikuspuntu konputazional batetik. Bereziki aberatsa den teoria bat talde finituentzat garatu zen, eta talde soil finituen sailkapenarekin amaitu zen, 1983an osatuta.3. Era berean, 1980ko erdialdeaz geroztik, talde geometrikoen teoria (sorkuntza finituko taldeak objektu geometriko gisa aztertzen dituena) bereziki aktiboa bihurtu da taldeen teoria zabalean.

Taldeen teoriak garrantzi handia du fisikan zein matematikan, edozein egitura edo teoriatako isomorfismoek beti talde bat osatzen dutelako eta, kasurik garrantzitsuenetan, taldeak sailkatuta daudelako: dauden guztiak agortzen dituzten zerrendak ezagutzen dira. Lie taldeen sailkapena, funtsean Élie Cartanek burutua, matematika europarraren puntu gorenetako bat da, matematika grekoak egindako 5 poliedro erregularren eraikuntzarekin bakarrik konpara daitekeena. Azken hori irudi geometriko simetriko posible guztien determinazioa den bezala, taldeen sailkapena edozein egituraren simetria posible guztien determinazioa da. Horrela, a priori, edozein teoria geometrikoren automorfismo-multzoak ezagutu ditzakegu. Gainera, Felix Kleinen Erlangen-em Programaren arabera, automorfismoen talde horrek dagokion teoria geometrikoa berreraikitzen du.

Fisikan ere, antzeko zerbait gertatzen da: sistema bateko lagrangearraren simetria-taldeak sistema horretako oinarrizko partikulei lotutako funtsezko propietateak zehazten ditu. Lie-ko taldeen sailkapenak simetria infinitesimalen balizko taldeen zerrenda ematen du, behin-behineko eta etorkizuneko eredu zientifikoetarako baliagarriak direnak.

Axiomatika

${\displaystyle (G,\,\circledast )}$  bikoteak, multzo bat adierazten du (ez dena derrigorrez zenbakizkoa). G erabiltzen dugu taldea adierazteko eta ${\displaystyle \circledast }$  barne-eragiketa bitarra (ez duena zertan operazio aritmetiko bat izan).

Beste letra larri batzuk ere erabil daitezke taldeak adierazteko; oro har, nahiago izaten da A letratik G arte erabiltzea, C letra izan ezik (konplexuen taldea adierazten baitu). Lehenengo aukera G izaten da.

Azpitaldeen kasuan, lehenengo aukera H eta hurrengo letrak dira, honako hauek izan ezik: K (gorputzak), N (arruntak), R (errealak), I (identitatea edo irrazionalak), Q (arrazionalak) eta Z (osoak), edo azalpenaren argitasun falta eragiten duen beste edozein.

Taldeko elementuak letra xehez adierazten dira: a, b, c, d, f, g, ...

Elementu simetrikoak txapeltxoarekin markatutako letra berarekin adierazten dira: ${\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...}$ .

Elementu neutroa e letraz adierazten da.

Barne-konposizioaren legeak irudikatzeko, ikur hauek erabiltzen dira: ${\displaystyle \odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.}$ 

Biderketa notazioa

Testuliburuetan ohikoena da:

Eragiketa horri biderketa deritzo. Testuinguruaren arabera, ikur hauetakoren batekin adierazten da (besteak beste):

${\displaystyle \cdot \;,\quad \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot \;,\quad \times \;,\quad \otimes }$ 

Ohikoena "bider" (${\displaystyle \cdot }$ ) zeinua erabiltzea da. Elementu batek bere buruarekin duen biderkadura errepikatua honela adierazten da:

${\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{aldiz}}}}$ 
${\displaystyle a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} }$ .

e elementu neutroa da, eta 1 bezala izendatzen da e elementuaren ordez. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa egon daitekeenean, elementu neutroaren ikurra azpiindize batekin adierazten da, G-n bezala, G taldeko bat izendatzeko.

Elementu simetrikoa: biderketa-multzoetan alderantzizko elementua deritzo, eta ${\displaystyle x^{-1}}$  notazioa du. Bi zenbakiren zatiketa, «:» edo «/» ikurrez sinbolizatua, zenbaki baten eta bestearen arteko biderkadura da. ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$  motako notazioak zenbaki-taldeentzat erreserbatu ohi dira (oro har, abeldarrak), bestela ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$  eta ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$  nahas baitaitezke, eta desberdinak izan daitezke. Oro har, alderantzizkoarentzat hobe da ${\displaystyle a^{-1}}$  notazioa ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$  baino.

Batuketa Notazioa

Batuketa-notazioa talde abeldarrentzat soilik erabiltzen da.

Eragiketaren ikur gisa, «+» batuketarena erabiltzen da. Elementu batek bere buruarekin duen batuketa errepikatua honela adierazten da.

${\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{aldiz}}}}$ 
${\displaystyle na=\overbrace {a+a+a+...+a} }$ .

Batuketarako elementu neutroa 0-z adierazten da, e-ren ordez, eta zeroa edo elementu nulua esaten zaio. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa dagoenean, zeroaren sinboloa azpiindize batekin adierazten da, G-n bezala, taldearen zeroari berariaz erreferentzia egiteko. x elementu baten simetrikoa (-x) gisa adierazten da. Testuinguru horretan, x-ren aurkako elementua edo elementu negatiboa esaten zaio. Batuketa-notazioa zorrotz aplikatuz, x + (-y) idatzi behar litzateke, baina sarritan x - y erabiltzen da, eta bi zenbakiren arteko kenketa lehenengoaren eta bigarrenaren kontrakoaren batura gisa definitzen da. Edozein multzotan, (-x)-ren alderantzizkoa x da, eta, beraz, -(-x) = x behar da.

Aurrekoan ez da onartzen x positiboa denik eta -x negatiboa denik; izan ere, beste arrazoi batzuen artean, batuketa-notazioa erabiltzen den talde batzuetan ez dago elementuaren zeinuaren nozio intrintsekorik, hala nola zenbaki konplexuetan edo bektoreetan.

Oinarrizko emaitzak

• Elementu neutroa bakarra da.

Froga

Demagun ${\displaystyle e_{1}}$  eta ${\displaystyle e_{2}}$  taldeko elementu neutroak direla; orduan, definizioz, ${\displaystyle e_{1}}$  ${\displaystyle \circledast }$  ${\displaystyle e_{2}}$  = ${\displaystyle e_{1}}$  eta ${\displaystyle e_{1}}$  ${\displaystyle \circledast }$  ${\displaystyle e_{2}}$  = ${\displaystyle e_{2}.}$  Beraz, ${\displaystyle e_{1}}$  = ${\displaystyle e_{2}}$ ; eta elementu neutroa bakarra da.

• Alderantzizko elementua bakarra da.

Froga

Demagun ${\displaystyle g}$  elementuak bi alderantzizko dituela ${\displaystyle g_{1}}$  eta ${\displaystyle g_{2}}$ . Orduan, ${\displaystyle g_{2}=(g_{1}\circledast g)\circledast g_{2}=g_{1}\circledast g\circledast g_{2}=g_{1}\circledast g\circledast g_{2}=g_{1}\circledast (g\circledast g_{2})=g_{1}}$  da. Beraz, alderantzizko elementua bakarra da.

• ${\displaystyle G}$ -ren elementuak sinplifikagarriak dira ${\displaystyle \circledast }$  -rekiko:

Izan bitez ${\displaystyle a,b,c\in G}$ . Baldin ${\displaystyle a\circledast c=b\circledast c}$ , orduan ${\displaystyle a=b}$ 

Froga

${\displaystyle a\circledast c=b\circledast c\Rightarrow a\circledast c\circledast c^{-1}=b\circledast c\circledast c^{-1}\Rightarrow a\circledast e=b\circledast e\Rightarrow a=b}$

Zenbaki osoak

Zenbaki osoen taldea batuketarekin, ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\,+)}$  denotatua, lehenago deskribatu da. Biderketarekin, ordea, zenbaki osoek ez dute talde bat osatzen. Elkartze-propietatea eta elementu neutroaren existentzia betetzen dira, baina ez da betetzen alderantzizkoaren existentzia. Adibidez: a = 2 zenbaki osoa da, baina ${\displaystyle a\cdot b=1}$  ekuazioaren emaitza bakarra ${\displaystyle b=1/2}$  da, ${\displaystyle b}$  zenbaki arrazionala izanik. Beraz, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ren elementu guztiek ez dute alderantzizkorik.

Zenbaki arrazionalak

Zenbaki osoez osatutako zatikiei zenbaki arrazional deritze, eta haien multzoa ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  izendatzen da.

Zenbaki arrazionalek biderketarekin, ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\,\cdot )}$ , ez dute talde bat osatzen: zerok ez du alderantzizko elementurik (ez da existitzen ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$  zeinetarako ${\displaystyle x\cdot 0=1}$ ).

Ostera, zenbaki arrazional ez-nulu guztien multzoak (${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \{0\}=\{q\in \mathbb {Q} :q\neq 0\}}$ ) biderketarekin talde abeldarra osatzen du.

Taldeen teorian, talde zikliko bat elementu bakar batek sor dezakeena da; hau da, G taldean a elementu bat dago (G-ren "sorgailu" deritzona), G-ren elementu guztiak a elementuaren berreketa gisa adieraz ditzakeena. Taldearen eragiketa batuz adierazten bada, esango da G-ren elementu guztiak a elementuaren multiplo gisa adieraz daitezkeela, n osorako. Beste era batera esanda, G ziklikoa da eta a sorgailua, baldin eta G = { aⁿ | n ∈ Z }.

G-ren elementu batek sortutako talde bat berez G azpitalde bat denez, nahikoa da frogatzea a duen G azpitalde bakarra G bera dela, hau ziklikoa dela frogatzeko. Adibidez, G = { e, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ } ziklikoa da. Izan ere, G, funtsean, {0, 1, 2, 3, 4, 5} multzoaren berdina da (hau da, honen isomorfoa), 6 moduluko batuketaren azpian.

Horregatik, talde ziklikoak isomorfoak diren talde "kanonikoaren" bidez adierazten dira normalean: taldea n ordenakoa bada, eta n osoa bada, talde hori zenbaki osoen Z_n taldea da {0, ..., n-1} motako azpimultzoa n moduluarekin. Infinitua bada, hau da, espero daitekeen bezala, Z. Z_n notazioa, eskuarki, zenbakien teoristek ekiditen dute, ohiko notazioarekin nahas baitaiteke zenbaki p-adikoetarako. Aukera bat talde zatitzailearen notazioa erabiltzea da.

Z/nZ beste irtenbide bat eragiketa biderketa bidez denotatzea da, eta Cn = {e, a1, a2,... ,an-1} taldea irudikatzea. Baina, bi notazio horiek ez dira Zn bezain ezagunak. 

Propietateak

Sarreran esandakoagatik, edozein talde zikliko Z_n edo Z-ri isomorfoa da. Nahikoa da talde ziklikoak oro har ulertzeko talde horiek aztertzea. n ordenako G talde zikliko bat emanik (non n infinito izan daiteke), eta g ∈ G izanik, hau dugu:

• G talde abeldarra; hau da, bere eragiketa kommutatiboa da: ab = ba edozein a, b ∈ G. Hori egia da, a, b ∈ G edozein bikoterako, a + b mod n = b + a mod n baita.
• n < ∞, orduan gⁿ = e, zeren eta n mod n = 0.
• n = ∞ bada, taldeak bi sorgailu ditu zehazki: 1 eta -1 Z-n, eta irudi isomorfikoak beste talde zikliko infinitu batzuetan.
• G azpimultzoa ziklikoa da. Hain zuzen, n finitorako, G azpitalde oro isomorfo da Z_m batean, non m, n-ren zatitzailea baita; eta n infinitua bada, G azpitalde oro mZ azpitalde bati dagokio (hori ere Z isomorfoa da).

Z_n-ren sorgailuak n-rekin erlatiboak diren lehen osoak dira. Sorgailu horien kopurua φ(n) bidez adierazten da, non φ Eulerren funtzioa baita. Oro har, d n-ren zatitzailea bada, d ordenako Z_n elementuen kopurua φ(d) da. m elementuaren ordena n / zkh(m,n) da.