Grúpa

Aðgerðin, sem um ræðir, er almennt kölluð margföldun, þótt ekki sé um margföldun í venjulegum skilningi að ræða. Svo almenn lýsing nær yfir fjölda fyrirbrigða í stærðfræði, t.d. er mengi heiltalna með venjulegri samlagningu grúpa og einingarhringurinn í tvinntalnasléttunni er margföldunargrúpa. Grúpur eru notaðar til að búa til einfalda lýsingu á flóknu kerfi. Þetta á einnig við um grannfræði, talningarfræði og stærðfræðigreiningu.

Grúpa er mengi G ásamt tvístæðri aðgerð • (kallast grúpuaðgerð, group law á ensku) sem tengir stök a og b saman (táknað a • b eða ab) þar sem mengið og aðgerðin (G, •) uppfylla eftirfarandi skilyrði:

Lokun
a • b er í G fyrir öll a og b í G.
Tengni
(a • b) • c = a • (b • c) fyrir öll a, b og c í G
Hlutleysa
Til er stak e í G þannig að e • a = a • e = a gildir fyrir öll stök a í G
Andhverfa
Fyrir gefið stak a í G er til stak b í G svo a • b = b • a = e.

Í mörgum kennslubókum um grúpufræði er tekið fram að tvíundaraðgerðin er lokuð með tilliti til þessarar aðgerðar, þ.e. fyrir öll a, b í G gildir að til er c í G þ.a. a • b = c. Hinsvegar er oftast innifalið í skilgreiningunni á tvíundaraðgerð að hún sé lokuð. Ef aðgerðin er víxlin, þ.e. fyrir öll a, b í G gildir að a • b = b • a, þá kallast grúpa víxlgrúpa eða Abel-grúpa, til heiðurs Niels Henrik Abel.

• Einungur