இயற்கணிதம் வர்க்கம்

"வர்க்கம் காண" என்ற வினைச்சொல்லானது வர்க்கம் காணும் செயலைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  2 இன் அடுக்குக்கு உயர்த்தும் அடுக்கேற்றச் செயலும் வர்க்கம் காணலும் சமமானவை. மேலொட்டெண் 2 ஆல் வர்க்கம் குறிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: 3 இன் வர்க்கம் = 3² = 9 நிரல் மொழி போன்ற மேலொட்டுக்களைப் பயன்படுத்த முடியாத இடங்களில் x² என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக x^2 அல்லது x**2 குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

ஒரு முழு எண்ணின் வர்க்கம் அந்த எண்ணில் வர்க்க எண் அல்லது நிறை வர்க்கம் என அழைக்கப்படுகிறது. எண்களுக்கு மட்டுமல்லாது இயற்கணிதத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், பிற கோவைகள், கணிதத் தொகுதிகள் போன்றவைகளுக்கும் வர்க்கம் காணும் செயல் நீட்டிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக x + 1 என்ற நேரியல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கம் (x+1)² = x² + 2x + 1 எனும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

எண்களிலும் பிற கணிதத் தொகுதிகளிலும் வர்க்கம் காணும் செயலின் முக்கியப் பண்பு x இன் வர்க்கமும் அதன் கூட்டல் நேர்மாறு −x இன் வர்க்கமும் சமமாக இருத்தல் ஆகும். அதாவது:

x² = (−x)².

இப்பண்பினால் வர்க்கச் சார்பு ஒரு இரட்டைச் சார்பு எனக் கூறலாம்.

 

மெய்யெண்களில் வர்க்கம் காணும் செயல், "வர்க்கச் சார்பு" எனும் மெய்ச் சார்பை வரையறுக்கிறது. இந்த வர்க்கச் சார்பின் ஆட்களம், மெய்யெண் கோடு; அதன் வீச்சு எதிர்மமல்லா மெய்யெண்கள்.

வர்க்கச் சார்பு நேர்ம எண்களின் வரிசையைப் பாதுகாக்கிறது. அதாவது பெரிய நேர்ம எண்களின் வர்க்கங்கள் அவற்றைவிட சிறிய நேர்ம எண்களின் வர்க்கங்களைவிடப் பெரியவையாக இருக்கும். அதாவது ஓரியல்புச் சார்பு [0, +∞) இடைவெளியில் வர்க்கச் சார்பு ஓரியல்புச் சார்பாக இருக்கும். எதிர்ம எண்களில் பெரிய தனிமதிப்புள்ளவற்றின் வர்க்கங்கள் பெரியவையாக இருக்கும். அதாவது (−∞,0] இடைவெளியில் வர்க்கக் சார்பு ஓரியில்பாகக் குறையும் சார்பாக இருக்கும். 0 எண்ணானது வர்க்கச் சார்பின் சிறும மதிப்பாகும்.

0 < x < 1 ஆக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", x இன் மதிப்பைவிட அதன் வர்க்கத்தின் மதிப்பு சிறியதாக இருக்கும். அதாவது x² < x. இதிலிருந்து ஒரு முழுவெண்ணின் வர்க்கம், அந்த எண்ணை விட ஒருபோதும் சிறியதாக இருக்காது என்றறியலாம்.

ஒவ்வொரு நேர்ம மெய்யெண்ணும் இரண்டே இரண்டு எண்களின் வர்க்கமாக இருக்கும். அவ்விரு எண்களில் ஒன்று கண்டிப்பாக நேர்மமாகவும் மற்றொன்று எதிர்மமாகவும் இருக்கும். இப்பண்பைக் கொண்டு வர்க்கமூலச் சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. இச்சார்பானது ஒரு எதிர்மமல்லா மெய்யெண்ணுடன் அம்மெய்யெண்ணை வர்க்கமாகக் கொண்ட மற்றொரு எதிர்மமல்லா எண்ணுடன் இணைக்கிறது. பூச்சியம், ஒரேயொரு எண்ணிற்கு அதாவது தனக்கே வர்க்கமாகும்.

அனைத்து மெய்யெண்களின் வர்க்கங்களும் எதிர்மமற்றவை என்பதால், மெய்யெண்களின் கணத்தில் ஒரு எதிர்ம எண்ணுக்கு வர்க்க மூலம் காண முடியாது. எனவே எதிர்ம எண்களின் வர்க்கமூலம் காண்பதற்கு ஏதுவாக  −1 இன் வர்க்கமூலமான கற்பனை அலகு i, வரையறுக்கப்பட்டு மெய்யெண்களின் கணமானது சிக்கலெண்களின் கணத்திற்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.

வடிவவியலில் வர்க்கச் சார்பு பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

 l பக்க நீளங்கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு l². எனவே ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவில் ஏற்படக்கூடிய மாற்றம் அதன் பக்க நீளத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தின் வர்க்கமாக இருக்கும். அதாவது ஒரு சதுரத்தின் பக்க நீளத்தைவிட n  மடங்கு அதிக பக்க நீளங்கொண்ட மற்றொரு சதுரத்தின் பரப்பளவு முதல் சதுரத்தின் பரப்பளவைவிட n²  மடங்கு அதிகமாக இருக்கும். இதே பண்பு முப்பரிமாண வடிவங்களின் பரப்பளவுகளுக்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பளவில் ஏற்படும் மாறுபாடு அதன் ஆரத்தில் ஏற்படும் மாறுதலின் வர்க்கமாக இருக்கும். இப்பண்பு எதிர் இருமடி விதியில் பயன்படுகிறது.

பித்தேகோரசு தேற்றம் மற்றும் அதன் நீட்டிப்பான இணைகர விதிகள் மூலமாக வர்க்கச் சார்பானது தொலைவுடன் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. பித்தகோரசு மும்மைகளென அழைக்கப்படும் எண்ணற்ற எண்கள் உள்ளன. ஒரு மும்மையின் முதல் இரு எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் அதிலுள்ள மூன்றாவது எண்ணின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்; மேலும் அம்மூன்று எண்களும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமையும் என்பதே இம்மும்மைகளின் சிறப்பியல்பாகும்.

ஒரு திசையனின் அதனுடனேனான புள்ளிப் பெருக்கல் அதன் நீளத்தின் வர்க்கமாகும். அதாவது: v⋅v = v².

பூச்சியமற்ற ஒவ்வொரு சிக்கலெண்ணுக்கும் இரண்டேயிரண்டு வர்க்கமூலங்கள் உண்டு. ஒரு சிக்கலெண் z இன் தனிமதிப்பு வர்க்கமானது அச்சிக்கலெண் மற்றும் அதன் இணைச் சிக்கலெண் (z^*) இரண்டின் பெருக்கற்பலனாகும்

|z|² = z z^*. இதனை சிக்கலெண் திசையன்களின் புள்ளிக் பெருக்கலாக நீட்டிக்கலாம்.