Número Quadrado: Resultado da multiplicação de um número ou, outro tipo de expressão, por si mesmo

Ou ainda se a raiz quadrada de um número inteiro for outro inteiro, o primeiro é um número quadrado.

Os primeiros 50 números quadrados são:

A partir do número 1 todos os números quadrados resultam duma sucessão matemática.

E assim por diante. O 2º somando deve-se a inicialmente começar como n=1, a seguir n+2=3, n+4=5, n+6=7, e assim por diante; Como visto todos os 2º somados são números ímpares pelo que se torna muito fácil calcular números quadrados fazendo apenas somas, desde que se pegue numa parte já calculada da sucessão. O 1º somando é sempre o número quadrado anterior. O 2º somando resulta da sucessão n=1, n1=n+2, n2=n1+2, n3=n2+2, assim por diante.

Todos os números quadrados são quadrados devido a serem um valor inteiro possível da área de um quadrado sempre que a raiz quadrada do valor da área do quadrado for um número inteiro, sendo o valor do resultado da raiz quadrada o valor de qualquer um dos lados do quadrado.

Além do mais, a soma de dois naturais consecutivos sempre resulta na diferença entre o quadrado dos dois.

1+2=4-1 2+3=9-4 3+4=16-9 

Assim, pode-se criar uma generalização da forma:

(n)+(n+1)=(n+1)²-(n)² 2n+1=n²+2n+1-n² 2n+1=2n+1 

O número m é um número quadrado se e somente se pode ser representado por um quadrado de lado m:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25

A fórmula para o enésimo número quadrado é n², que é igual a soma dos primeiros n números ímpares (${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}$ ); assim um quadrado (ver figuras acima) resulta do anterior mais um número ímpar de pontos. Por exemplo, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Lagrange provou que todo inteiro positivo é a soma de quatro números inteiros elevados ao quadrado.

• Quadrados de números pares são pares: (2n)² = 4 n².
• Quadrados de números ímpares são ímpares: (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Por consequência, raízes quadradas de quadrados pares são pares e raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares.

Outra forma de se provar que raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares: faça de conta que n² seja ímpar; assim,

• n² - 1 é par, mas
• n² - 1 também pode ser escrita como (n+1)(n-1) e, portanto,
• (n+1)(n-1) é par

Para que (n+1)(n-1) seja par, ao menos um dentre (n+1) e (n-1) tem que ser par. Digamos que n seja par; se n for par, tanto (n+1) quanto (n-1) são ímpares e a proposição não é verdadeira; agora, se n for ímpar, ambos (n+1) e (n-1) são pares e assim a proposição é verificada: se n² é ímpar, n também é ímpar.

Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja ${\displaystyle N}$  um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$  tal que ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)^{2}=N?}$ 

Para ${\displaystyle N=2,}$  a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.

Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de um polinômio.

"Todo quadrado perfeito par tem raiz par": 4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).

PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X²=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X²=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por ${\displaystyle X={\sqrt {2k}}.}$  Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perfeito requer k=2y^2, ou seja, ${\displaystyle X={\sqrt {4y^{2}}}=2y,}$  portanto um número par.

"Todo quadrado perfeito ímpar tem raiz ímpar": 1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).

PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.

As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos números não são quadrados perfeitos. [1]

"Todo número terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito": basta avaliar os exemplos acima e outros mais.

PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o produto de dois números iguais.

"Todo número par que não for divisível por 4, não é quadrado perfeito": 2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.

PROVA: Todo o número par é divisível por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2 x 2 = 4.

• Raiz quadrada
• Exponenciação
• Número triangular
• Número hexagonal

• GUNDLACH, Bernard H. (1992). Números e numerais: Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo. Editora Atual. ISBN 8570564589.

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