சேர்ப்பு அணி

A அணியின் இணைக்காரணி அணி C இன் இடமாற்று அணியானது A இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}~.}$ 

R ஒரு பரிமாற்று வளையம்; R இலுள்ள உறுப்புகளாலான n×n அணி A.

• M_ij என்பது A அணியின் (i,j) சிற்றணிக்கோவை; இது A அணியின் i ஆவது நிரையையும் j ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (n − 1)×(n − 1)}} அணியின் அணிக்கோவை.
• C_ij என்பது A அணியின் (i,j) இணைக்காரணி;

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}~.}$ 

• A அணியின் இணைக்காரணி அணி C என்பது ஒரு n×n அணி; இதன் (i,j) ஆவது உறுப்பு A அணியின் (i, j) ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
• C அணியின் இடமாற்று அணியே A அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது n×n வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (i,j) உறுப்பானது A அணியின் (j,i) இணைக்காரணியாக அமையும்:

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )_{ij}=\mathbf {C} _{ji}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\,}$ .

• A அணியையும் அதன் சேர்ப்பு அணியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி, det(A) ஐ முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணியாகும்.

${\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} ~.}$

• R இல், det(A) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}~,}$ 
${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~.}$ 

1 × 1 பொது அணி

எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: ${\displaystyle \mathbf {I} =(1)}$ .

2 × 2 பொதுஅணி

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}$  என்ற 2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}$ .

மேலும் det(adj(A)) = det(A) என்பதும் adj(adj(A)) = A என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.

3 × 3 பொதுஅணி

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$ 

இதன் இணைக்காரணி அணி:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}$ 

சேர்ப்பு அணி:

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}$ 

3 × 3 எண் அணி

${\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}}$ .

செயல்முறை:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}}$  அணியின் இணைக்காரணி அணி:
${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}0&-2\\-4&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1&-2\\3&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-1&0\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}2&-5\\-4&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&-5\\3&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&2\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}2&-5\\0&-2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&2\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}}$ 

இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:

${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}=\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}}$ 

சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:

A , B இரண்டும் n×n அணிகள் எனில்:

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }$ 
${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}$ 
${\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~}$ 

m ஒரு முழு எண் எனில்:

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}~}$ 
${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}~}$ 

A ஒரு n×n அணி; மேலும் n ≥ 2 எனில்:

${\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},}$ 

மேலும் A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க n×n அணி எனில்:

${\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} ~,}$ 

A நேர்மாற்றத்தக்கது, n = 2 எனில்:

det(adj(A)) = det(A)
adj(adj(A)) = A

நேர்மாற்றத்தக்க அணி A க்கு k தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:

${\displaystyle \mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}}~,}$ 
${\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}~.}$