מטריצה מצורפת

המטריצה המצורפת של ${\displaystyle \,A}$ מסומנת ב-${\displaystyle \,\mathrm {adj} (A)}$ (מן המילה adjoint או adjugate) וכל איבר בה מוגדר באופן הבא:

$${\displaystyle \,\mathrm {adj} (A)_{i,j}=(-1)^{i+j}|M_{j,i}|\,}$$

${\displaystyle \,M_{j,i}}$

${\displaystyle \,j,i}$

${\displaystyle \,A}$

${\displaystyle \,j}$

${\displaystyle \,i}$

${\displaystyle \,A}$

$${\displaystyle \,\mathrm {adj} (A)_{i,j}=(-1)^{i+j}|M_{i,j}^{T}|\,}$$

דוגמה למטריצה מסדר ${\displaystyle \,2\times 2}$ :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},}$ 

אז:

${\displaystyle {\mbox{adj}}(A)={\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}}.}$ 

אם נסתכל על 1 אז המינור שנשאר הוא בדיוק 4 ולהפך, כמו כן אם נסתכל על 2 (האיבר בשורה 1 ובעמודה 2) אז המינור שנשאר הוא 2 (מורידים את שורה 2 ואת עמודה 1) והמקדם מינוס אחת,

וכנ"ל ל-3 (המינור הוא 3 והמקדם הוא מינוס אחת).

דוגמה כללית יותר: בהינתן מטריצה כלשהי מסדר ${\displaystyle \,2\times 2}$ 

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}},}$ 

אז:

${\displaystyle {\mbox{adj}}(A)={\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{12}\\-A_{21}&A_{11}\end{pmatrix}}.}$ 

דוגמה למטריצה מסדר ${\displaystyle \,3\times 3}$ :

${\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}-1&2\\2&-1\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}0&2\\0&-1\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}0&-1\\0&2\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&1\\0&-1\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&1\\0&2\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&1\\0&2\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&1\\0&-1\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&0&0\\3&-2&-4\\3&-4&-2\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}.}$ 

הערך 4- בשורה האחרונה ובעמודה השנייה חושב על ידי השמטת העמודה האחרונה והשורה השנייה של המטריצה המקורית וחישוב הדטרמיננטה:

${\displaystyle (-1)^{3+2}\;\operatorname {det} {\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}=(-1)(4)=-4.}$ 

דוגמה כללית יותר: בהינתן מטריצה כלשהי מסדר ${\displaystyle \,3\times 3}$ 

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}},}$ 

(adj(A היא מטריצה המשוחלפת של מטריצה C (באנגלית: cofactor)

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}$ 

לכן המטריצה המצורפת של A היא:

${\displaystyle {\mbox{adj}}(A)=C^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}.}$ 

המשפט המרכזי עבור מטריצה מצורפת הוא:

לכל מטריצה ריבועית ${\displaystyle \,A}$  מסדר ${\displaystyle \,n}$  מתקיים:

$${\displaystyle \qquad A\,\mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\,A=\det(A)\,I}$$

 

כאשר ${\displaystyle \,I}$  היא מטריצת יחידה מסדר ${\displaystyle \,n}$ .

כלומר, תוצאת הכפל היא מטריצת היחידה כפולה בדטרמיננטה של המטריצה.

את המשפט ניתן להוכיח על ידי כפל ישיר של A במטריצה המצורפת. באופן הזה במקום ה-ij של המטריצה שתיווצר יופיע פיתוח הדטרמיננטה של מטריצה אחרת המתקבלת על ידי החלפת השורה ה-j ב-A בשורה ה-i, ללא שינוי השורה ה-i, כאשר פיתוח הדטרמיננטה נעשה לפי השורה ה-j. אם i אינו j, הדטרמיננטה המתקבלת היא של מטריצה בה השורה ה-i מופיעה פעמיים ולכן היא אפס. אם i שווה ל-j, מתקבלת הדטרמיננטה של המטריצה A.

מסקנות מהגדרת המטריצה המצורפת ומן המשפט המרכזי:

• ${\displaystyle \mathrm {adj} (I)=I\,}$ .
• לכל מטריצה ריבועית ${\displaystyle \,A}$  מתקיים ${\displaystyle \,\mathrm {adj} (A^{t})=(\mathrm {adj} (A))^{t}}$ .
• אם ${\displaystyle \,A}$  מטריצה הפיכה אזי ${\displaystyle \,A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}}$ .
• מטריצה ריבועית ${\displaystyle \,A}$  היא הפיכה אם ורק אם ${\displaystyle \,\mathrm {adj} (A)}$  הפיכה.
• אם ${\displaystyle \,A}$  מטריצה הפיכה אזי ${\displaystyle \,\mathrm {adj} (A^{-1})=(\mathrm {adj} (A))^{-1}}$ .
• לכל מטריצה ריבועית ${\displaystyle \,A}$  מגודל n×n מתקיים ${\displaystyle \det(\mathrm {adj} (A))=\det(A)^{n-1}\,}$ .
• לכל שתי מטריצות ריבועיות ${\displaystyle \,A,B}$  מאותו סדר מתקיים ${\displaystyle \mathrm {adj} (AB)=\mathrm {adj} (B)\,\mathrm {adj} (A)\,}$ .