Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
Definicija
Pretpostavimo da je R komutativni prsten i A je matrica dimenzije n×n sa vrijednostima iz R. Definicija adjungovane matrice od A je proces iz više koraka:
- Definišimo (i,j) minor od A, u oznaci Mij, kao determinantu matrice dimnezije (n − 1)×(n − 1), koja rezultuje brisanjem reda i i kolone j od A.
- Definišimo (i,j) kofaktor matrice A kao
-
- Definišimo matricu kofaktora matriceA, kao matricu C, dimenzije n×n, čija je vrijednost (i,j) je (i,j) kofaktor matrice A.
adjungovana matrica matrice A je transponovana matrica matrice kofaktora matrice A:
- .
To jeste, adjungovana matrica matrice A je matrica dimenzije n×n čije su (i,j) vrijednosti (j,i) kofaktori matrice A:
- .
Primjeri
Svojstvena matrica dimenzije 2x2
Adjungovana matrica matrice dimenzije
-
je
- .
Svojstvena matrica dimenzije 3x3
Razmotrimo matricu dimenzije
- .
Njena adjungovana matrica je
-
gdje je
- .
Uočite da je adjungovana matrica transponovana matrica matrice kofaktora. Zbog toga, naprimjer, vrijednost (3,2) adjungovana matrice je kofaktor (2,3) matrice A.
Numerička matrica dimenzije 3x3
Kao specifični primjer imamo
- .
−6 u trećem redu, drugoj koloni adjungovane matrice, izračunato je na sljedeći način:
- .
Ponovo, vrijednost (3,2) adjungovane matrice je kofaktor (2,3) matrice A. Zbog toga, podmatrica
-
dobivena je brisanjem drugog reda i treće kolone originalne matrice A.
Primjene
Kao posljedica Laplaceove formule za determinantu matrice A dimenzije n×n, imamo
-
gdje je I jedinična matrica dimenzije n×n. Uistinu, vrijednost (i,i) proizvoda A adj(A) je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom i matrice kofaktora C, koji je jednostavno Laplaceova formula za det(A) proširen sa redom i. Više, za i ≠ j, vrijednost (i,j) prooizvoda je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom j matrice C, koji je Laplaceova formula fza determinantu matrice čiji su i i j redovi jednaki, i koja je zbog toga, jednaka nuli.
Iz ove formule slijedi jeda od najvažnijih rezultata u matričnoj algebri: Matrica A nad komutativnim prostenom R je inverzna ako i samo ako je det(A) inverzna u R.
Ako je A inverzna matrica, tada je
-
a ako je det(A) jedinica, tada (*) iznad pokazuje da je
-
Osobine
Adjungovana matrica ima osobine
-
-
za sve matrice A and B dimenzija n×n.
Adjungovana matrica zadržava transpoziciju:
- .
Dalje, ako je nesingularna, tada je
- .
Ako je p(t) = det(A − tI) karakteristični polinom matrice A, te ako definišemo polinom q(t) = (p(0) − p(t))/t, tada je
- ,
gdje su koeficijenti od p(t),
-
Adjungovana matrica također se pojavljuje u formuli derivacije determinante.
Reference
Vanjski linkovi
This article uses material from the Wikipedia Bosanski article Adjungovana matrica, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Sadržaj je dostupan pod licencom CC BY-SA 4.0 osim ako nije drugačije navedeno. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Bosanski (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.